טעויות נפוצות ודרכי תיקון

סכום המספרים האי־זוגיים הראשונים הוא:

$$\sum_{j=1}^{n}(2j-1)=n^2.$$

לכן הטענה אינה נכונה לשום מספר טבעי. עם זאת, אם מניחים את השוויון הנתון ומוסיפים את האיבר הבא, מקבלים:

$$n^2+10+(2n+1)=(n+1)^2+10.$$

המעבר תקין, אך אין בסיס שממנו אפשר להתחיל את ההוכחה.

באגף שמאל מספר האיברים כולל את שני הקצוות:

$$3n-2n+1=n+1.$$

נוסחת הסכום נותנת:

$$\frac{5n(n+1)}{2}=2n^2+4n-1 \iff (n-1)(n-2)=0.$$

השוויון מתקיים רק כאשר $n=1$ או $n=2$. לכן המעבר נכשל כאשר $n=2$: ההנחה נכונה, אך המסקנה עבור $n=3$ שגויה.

אם בוחרים את הגורם השני מתוך $k$ סוגריים, האיבר הוא:

$$\binom{20}{k}x^{10-\frac{3k}{2}},\qquad k\in\{0,\ldots,20\}.$$

לחזקות המבוקשות מתקבלים האינדקסים:

$$10-\frac{3k}{2}=0\Rightarrow k=\frac{20}{3},\qquad 10-\frac{3k}{2}=1\Rightarrow k=6,\qquad 10-\frac{3k}{2}=2\Rightarrow k=\frac{16}{3}.$$

רק האינדקס האמצעי שלם. לכן:

$$a=c=0,\qquad b=\binom{20}{6},\qquad 2a+b-c^2=\binom{20}{14}.$$

האיבר הכללי הוא:

$$\binom{15}{k}(x^3)^{15-k}\left(-\frac{3}{x^2}\right)^k =\binom{15}{k}(-3)^k x^{45-5k}.$$

איפוס החזקה נותן $k=9$, שהוא אינדקס מותר. לכן האיבר החופשי הוא:

$$\binom{15}{9}(-3)^9=\binom{15}{6}(-3)^9.$$

מספר הבחירות השליליות אי־זוגי, ולכן התוצאה שלילית.

האיבר הראשון בתת־הטור הוא $a_1q^2$, והמנה שלו היא $q^3$. לכן:

$$\frac{a_1q^2}{1-q^3}=\frac{1}{5}\frac{a_1}{1-q} \Rightarrow 5q^2=1+q+q^2 \Rightarrow 4q^2-q-1=0.$$

שורשי המשוואה הם:

$$q=\frac{1\pm\sqrt{17}}{8}.$$

שניהם מקיימים $|q|\lt1$, ולכן שניהם מותרים. לפי נוסחאות וייטה, סכומם הוא $\frac14$.

סכום הטור כולו הוא:

$$S=6-\frac23=\frac{16}{3}.$$

הזנב מתחיל אחרי שלוש הכפלות של המנה ביחס לטור המקורי. לכן:

$$q^3S=-\frac23 \Rightarrow q^3=-\frac18 \Rightarrow q=-\frac12.$$

המנה מקיימת את תנאי ההתכנסות. כמו כן, סכום שלושת האיברים הראשונים הוא $S(1-q^3)=6$, כנדרש.

כאשר $x=1$, האגפים הם $6$ ו־$0$, ולכן אין שוויון. כאשר $x\ne1$:

$$\frac{1-x^6}{1-x}=-\frac{1-x^6}{3} \Rightarrow (1-x^6)(4-x)=0.$$

הפתרונות הממשיים של $x^6=1$ הם $x=\pm1$. לאחר פסילת $x=1$, מתקבלים:

$$x=-1,\qquad x=4.$$

שניהם מקיימים את המשוואה המקורית. באפשרויות מופיע רק $x=4$.

כל זוג סמוך תורם:

$$(2j-1)-2j=-1.$$

לכן:

$$S_{2m}=-m,\qquad S_{2m-1}=-(m-1)+(2m-1)=m.$$

סכום חיובי מחייב מספר איברים אי־זוגי. מתקבל $m=23$, ולכן $k=2m-1=45$.

מפרקים כל איבר:

$$\frac{1}{j(j+1)}=\frac1j-\frac1{j+1}.$$

מכאן:

$$\sum_{j=2}^{99}\left(\frac1j-\frac1{j+1}\right) =\frac12-\frac1{100}=\frac{49}{100}.$$

האיברים הפנימיים מצטמצמים. האיבר הראשון שנותר הוא $\frac12$, בהתאם לגבול ההתחלה.

מהנתונים מתקבל:

$$8q^3=64\Rightarrow q=2,\qquad a_j=2^{j+2}.$$

כל האיברים חיוביים, ולכן הלוגריתמים מוגדרים. כעת:

$$\log_2a_j=j+2,\qquad \sum_{j=1}^{m}(j+2)=\frac{m(m+5)}2=42.$$

לכן:

$$(m-7)(m+12)=0.$$

מספר האיברים חייב להיות טבעי וחיובי. מכאן $m=7$.