טעויות נפוצות בפונקציות

בתחום המקורי מתקיים:

$$f(x)=3\cos(4x).$$

בקצה $x=\pi/4$ הטנגנס אינו מוגדר. לכן אין לצרף נקודה זו, אף שהנוסחה המצומצמת מוגדרת בה.

כאשר $x\in[0,\pi/4)$, מתקיים $4x\in[0,\pi)$. הקוסינוס יורד ממש בקטע זה. לכן הפונקציה חד־חד־ערכית, ותמונתה $(-3,3]$. הערך $3$ מתקבל בתחילת הקטע, והערך $-3$ אינו מתקבל בו.

תנאי הלוגריתם נותן:

$$3+2x-x^2\gt 0\iff -1\lt x\lt 3.$$

השורש נמצא במכנה, ולכן נדרש $\sin(\pi x)\gt 0$. בתוך הקטע שמצאנו, תנאי זה מתקיים בדיוק בקטעים $(0,1)$ ו־$(2,3)$.

לכן התחום הוא $(0,1)\cup(2,3)$. בכל נקודה בו הלוגריתם מוגדר והמכנה חיובי. כל נקודה אחרת מפרה לפחות תנאי אחד.

בקצוות מתקבלים $f(-1)=-2$ ו־$f(5)=2$. אבל בנקודה $x=4$ מתקבל $f(4)=3$.

בתחום הנתון המרחק $|4-x|$ מקבל את כל הערכים בקטע $[0,5]$. לכן $3-|4-x|$ מקבל בדיוק את כל הערכים בקטע $[-2,3]$.

נכתוב $x^2-8x+15=(x-4)^2-1$. בתחום הנתון מתקיים $(x-4)^2\in[0,16]$, ולכן הביטוי בתוך הערך המוחלט מקבל בדיוק את הערכים בקטע $[-1,15]$.

לאחר הפעלת הערך המוחלט מתקבלת התמונה $[0,15]$. בפרט, $f(0)=15$, אף שהנקודה $x=8$ אינה בתחום. הערך $0$ מתקבל בנקודות $x=3$ ו־$x=5$, וכל ערך ביניים מתקבל ברציפות.

לכל קלט מתקיים $-8\le f(x)\le6$, ולכן $|f(x)|\le8$. המינימום הנתון מתקבל, ולכן יש קלט שבו $|f(x)|=8$. מכאן שהמקסימום המבוקש הוא $8$.

לעומת זאת, תמונת הקלט $|x|$ היא $[0,\infty)$, ותמונת הקלט $x^2-x$ היא $[-1/4,\infty)$. אין בנתונים הבטחה שנקודות הקיצון של $f$ נמצאות בתחומים אלה.

שני המחוברים מוגדרים, רציפים ועולים ממש בתחום. לכן גם סכומם רציף ועולה ממש, ומכאן שהוא חד־חד־ערכי.

$$\lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to(\pi/2)^-}f(x)=\infty.$$

הרציפות והגבולות מבטיחים, לפי משפט ערך הביניים, שכל מספר ממשי מתקבל. לכן הפונקציה גם על, אף שתחומה חסום.

אם שתי הפונקציות עולות, אז עבור $a\lt b$ מתקיים $f(a)\le f(b)$ וגם $g(a)\le g(b)$. חיבור האי־שוויונות מוכיח שהסכום עולה. אם העלייה ממש, גם האי־שוויון בסכום ממש.

המכפלה אינה בהכרח עולה: הפונקציות $f(x)=g(x)=x$ עולות ממש, אך מכפלתן $x^2$ אינה עולה על כל הישר.

חד־חד־ערכיות אינה מספיקה לסכום או למכפלה: עבור $f(x)=x$ ו־$g(x)=-x$, שתי הפונקציות חד־חד־ערכיות. סכומן קבוע ומכפלתן $-x^2$. שתיהן אינן חד־חד־ערכיות. לכן הטענה המובטחת היא שימור העלייה בסכום.

בעיית מקור: הפתרון הרשמי בוחר בענף החיובי בלי לציין הגבלת תחום. נניח כאן שהתחום הוגבל ל־$(0,1]$. על התחום המקורי המלא אין פונקציה הפוכה.

התחום המקורי הוא $[-1,0)\cup(0,1]$. הפונקציה זוגית, ולכן אינה חד־חד־ערכית עליו.

בענף שנבחר, $|\arcsin(x^2)|=\arcsin(x^2)$. הפונקציה עולה ממש, ותמונתה $(-\infty,\ln(\pi/2)]$. נבודד את הקלט:

$$y=\ln(\arcsin(x^2)) \iff e^y=\arcsin(x^2) \iff x=\sqrt{\sin(e^y)}.$$

לכן:

$$f^{-1}(x)=\sqrt{\sin(e^x)},\qquad x\in(-\infty,\ln(\pi/2)].$$

בתחום זה מתקיים $e^x\in(0,\pi/2]$, ולכן פעולות ההיפוך תקפות והפלט נמצא ב־$(0,1]$. כך מתקבלת הפוכה לענף שנבחר בלבד.