פונקציה קדומה, בדיקה בגזירה ותנאי התחלה
שיעור 1
בשיעור זה נמצא פונקציה קדומה מטבלת יסוד ונבדוק אותה בגזירה. לאחר מכן נקבע את הקבוע $C$ לפי נקודה נתונה.
מהי פונקציה קדומה
הגדרה. $F$ היא פונקציה קדומה של $f$ בקטע $I$ אם $F'(x)=f(x)$ לכל $x$ בקטע. כותבים $\int f(x)\,dx=F(x)+C$.
משפט. שתי פונקציות קדומות של אותה פונקציה בקטע נבדלות בקבוע. לכן כל הפונקציות הקדומות הן $F(x)+C$.
התנאי "בקטע" חשוב. אם התחום מתפרק לכמה קטעים, הפתרון נקבע בקטע שמכיל את הנקודה הנתונה.
טבלת יסוד
| $f(x)$ | $F(x)$ | הערה |
|---|---|---|
| $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ | $n\ne-1$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | $x\ne0$ |
| $e^{x}$ | $e^{x}$ | |
| $a^{x}$ | $\frac{a^{x}}{\ln a}$ | $a>0,\ a\ne1$ |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | שימו לב לסימן |
| $\cos x$ | $\sin x$ | |
| $\frac{1}{\cos^2 x}$ | $\tan x$ | |
| $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x$ |
כלל ההזזה הליניארית: אם $F'=f$, אז $\int f(kx+b)\,dx=\frac{1}{k}F(kx+b)+C$ עבור $k\ne0$. למשל $\int e^{2x}\,dx=\frac{e^{2x}}{2}+C$.
בדיקה בגזירה
גוזרים את התשובה ומשווים לאינטגרנד. אם מתקבל אותו ביטוי עד גורם קבוע, מתקנים את הגורם ובודקים שוב.
מבחן 18.10.17 שאלה 1
מצאו פונקציה $f(x)$ שהנגזרת שלה היא $f'(x)=e^{\cos x}\sin x$.
ננחש $e^{\cos x}$. לפי כלל השרשרת $\left(e^{\cos x}\right)'=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)$. הסימן הפוך, ולכן נכפול ב־$-1$:
$$f(x)=-e^{\cos x}+C,\qquad f'(x)=-e^{\cos x}\cdot(-\sin x)=e^{\cos x}\sin x.$$
הגזירה מחזירה בדיוק את הנגזרת הנתונה, ולכן כל פונקציה מהצורה $-e^{\cos x}+C$ מתאימה. למשל $f(x)=-e^{\cos x}$.
בדיקה קצרה
האם $F(x)=x\ln x-x$ היא פונקציה קדומה של $\ln x$ עבור $x>0$?
כן. $F'(x)=\ln x+x\cdot\frac{1}{x}-1=\ln x$.
תנאי התחלה
שיטה. נתון $f'$ ונקודה $f(x_0)=y_0$.
- מוצאים פונקציה קדומה $F$ וכותבים $f(x)=F(x)+C$.
- מציבים: $F(x_0)+C=y_0$, ולכן $C=y_0-F(x_0)$.
- בודקים בגזירה ובהצבה.
מבחן 18.03.18 שאלה 3
מצאו פונקציה $f(x)$ המקיימת $f'(x)=\cos(x)e^{\sin x}$ ו־$f(0)=8$.
$\left(e^{\sin x}\right)'=\cos x\,e^{\sin x}$, ולכן $f(x)=e^{\sin x}+C$.
הצבה: $f(0)=e^{0}+C=1+C=8$, ולכן $C=7$.
$$f(x)=e^{\sin x}+7.$$
הנגזרת מתאימה ו־$f(0)=1+7=8$.
מבחן 28.01.18 שאלה 2
מצאו פונקציה $f(x)$ המקיימת $f'(x)=\tan x$ ו־$f(0)=5$.
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$. ננחש $-\ln|\cos x|$: הנגזרת היא $-\frac{-\sin x}{\cos x}=\tan x$.
לכן $f(x)=-\ln|\cos x|+C$. הצבה: $-\ln 1+C=C=5$.
$$f(x)=-\ln|\cos x|+5$$
הפתרון תקף בקטע $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ שמכיל את $0$. בו הנגזרת היא $\tan x$ ו־$f(0)=5$.
מבחן 22.10.19 שאלה 5
מצאו פונקציה $f(x)$ המקיימת $f'(x)=\tan(x)$ ו־$f\left(\frac{\pi}{4}\right)=3$.
כמו בדוגמה הקודמת, $f(x)=-\ln|\cos x|+C$.
הצבה: $-\ln\frac{\sqrt2}{2}+C=3$, ולכן $C=3+\ln\frac{\sqrt2}{2}=3-\frac{\ln 2}{2}$.
$$f(x)=-\ln|\cos x|+3+\ln\frac{\sqrt2}{2}$$
בדיקה: $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\ln\frac{\sqrt2}{2}+3+\ln\frac{\sqrt2}{2}=3$. הנגזרת היא $\tan x$ בקטע $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ שמכיל את $\frac{\pi}{4}$.
מבחן 07.10.15 שאלה 5
מצאו פונקציה $f(x)$ המקיימת $f'(x)=\cos^2 x$ ו־$f(0)=1$.
אין ל־$\cos^2 x$ שורה בטבלה. נשתמש בזהות $\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ ובכלל ההזזה הליניארית:
$$\int\cos^2 x\,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C.$$
הצבה: $0+0+C=1$, ולכן $C=1$.
$$f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{\sin 2x}{2}\right)+1$$
בדיקה: $f'(x)=\frac12+\frac{\cos 2x}{2}=\cos^2 x$, ו־$f(0)=1$.
מבחן 20.06.24 שאלה 10
תהי $g(x)$ פונקציה קדומה של $\frac{3}{x}$. נתון כי $f(x)=e^{g(x)}$ עוברת דרך הנקודה $(1,e^3)$. מצאו את $f(2)$.
(א) $e^6$ (ב) $2e^3$ (ג) $8e^3$ (ד) $e^9$ (ה) $2e^6$
$f$ מוגדרת סביב $x=1$, ולכן עובדים בקטע $x>0$. שם $g(x)=3\ln x+C$, ולכן
$$f(x)=e^{3\ln x+C}=e^{C}x^{3}.$$
הצבה: $f(1)=e^{C}=e^{3}$, ולכן $C=3$ ו־$f(x)=e^{3}x^{3}$.
$f(2)=8e^{3}$. התשובה היא (ג).
תרגול קצר
תרגיל מקורי
- $f'(x)=3x^2-4x$ ו־$f(1)=5$.
- $f'(x)=\frac{1}{x}$ עבור $x>0$ ו־$f(e)=4$.
- $f'(x)=e^{2x}$ ו־$f(0)=0$.
- $f(x)=x^3-2x^2+C$. הצבה: $1-2+C=5$, ולכן $f(x)=x^3-2x^2+6$.
- $f(x)=\ln x+C$. הצבה: $1+C=4$, ולכן $f(x)=\ln x+3$.
- $f(x)=\frac{e^{2x}}{2}+C$. הצבה: $\frac12+C=0$, ולכן $f(x)=\frac{e^{2x}}{2}-\frac12$.
מלכודת: $C$ אינו הערך הנתון
הקבוע שווה ל־$y_0$ רק כאשר $F(x_0)=0$. ב־מבחן 18.03.18 שאלה 3 הערך $e^{0}=1$, ולכן $C=7$ ולא $8$. גם הסימן מטעה: הפונקציה הקדומה של $\tan x$ היא $-\ln|\cos x|$. הציבו תמיד את הנקודה בפונקציה הקדומה המלאה, ואחר כך גזרו לבדיקה.