פונקציות רציונליות: חילוק, לוגריתם וארקטנגנס

$$\frac{x-4}{x+3}=1-\frac{7}{x+3}\ \Rightarrow\ f(x)=x-7\ln|x+3|+C$$

ב־$x=-2$ מתקיים $\ln|1|=0$, ולכן $-2+C=0$ ו־$C=2$.

תשובה: $f(x)=x-7\ln|x+3|+2$. בדיקה בגזירה: $f'(x)=1-\frac{7}{x+3}=\frac{x-4}{x+3}$, ו־$f(-2)=0$.

$x^4=(x^4-1)+1=(x^2-1)(x^2+1)+1$, ולכן $\frac{x^4}{x^2+1}=x^2-1+\frac{1}{x^2+1}$.

$$f(x)=\frac{x^3}{3}-x+\arctan x+C$$

$f(0)=C=2$. תשובה: $f(x)=\frac{x^3}{3}-x+\arctan x+2$. הפונקציה מוגדרת לכל $x$ וגזירתה מחזירה את $f'$.

$x^3+3x^2+2x=x(x+1)(x+2)$, ולכן האינטגרנד הוא $x^2+2x+\frac{1}{x+1}$.

$$\int_0^1\left(x^2+2x+\frac{1}{x+1}\right)dx=\left[\frac{x^3}{3}+x^2+\ln(x+1)\right]_0^1=\frac43+\ln2$$

על $[0,1]$ מתקיים $x+1>0$, ולכן אין צורך בערך מוחלט.

$1+x^2=(x^2-1)+2=-(x+1)(1-x)+2$, ולכן $\frac{1+x^2}{1-x}=-(x+1)+\frac{2}{1-x}$.

$\int\frac{2}{1-x}dx=-2\ln|1-x|$ (נגזרת פנימית $-1$). בתחום $x<1$ מתקיים $1-x>0$:

$$f(x)=-\left(\frac{x^2}{2}+x\right)-2\ln(1-x)+C$$

$f(0)=C=1$, ולכן $f(-2)=-(2-2)-2\ln3+1=1-\ln9$. תשובה ב.

בדיקת שפיות: $f'>0$ על $(-2,0)$, ולכן $f(-2)<f(0)=1$. אכן $1-\ln9\approx-1.2$.

לפי הנוסחה עם $p=5$, $q=2$: $\frac{1}{(x-2)(x-5)}=\frac13\left(\frac{1}{x-5}-\frac{1}{x-2}\right)$.

$$f(x)=\frac13\ln\left|\frac{x-5}{x-2}\right|+C$$

בדיקה: $f'(x)=\frac13\cdot\frac{(x-2)-(x-5)}{(x-5)(x-2)}=\frac{1}{(x-2)(x-5)}$. הנוסחה תקפה בכל רכיב קשירות של התחום $x\ne2,5$.

$(x^2-x-2)'=2x-1$, ולכן פונקציה קדומה היא $\ln|x^2-x-2|$. המכנה שלילי על $[0,\tfrac12]$ (שורשיו $-1$ ו־$2$), לכן הערך המוחלט חיוני.

$$\ln\left|\tfrac14-\tfrac12-2\right|-\ln|-2|=\ln\tfrac94-\ln2=\ln\tfrac98$$

תשובה ב.

$4x^2+1=1+(2x)^2$, ולכן $k=2$:

$$\int_0^{1/2}\frac{dx}{1+(2x)^2}=\frac12\left[\arctan(2x)\right]_0^{1/2}=\frac12\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$$

תשובה א. בלי הגורם $\tfrac12$ מתקבל בטעות $\tfrac{\pi}{4}$.