מלכודות נפוצות באינטגרלים ובשטחים
לכל מלכודת מופיעים הטעות, הסיבה שהיא נכשלת, התיקון ודוגמה ממבחן. נסו לפתור את הדוגמה לפני שתציגו את הפתרון.
שטחים
שטח גאומטרי מול אינטגרל מסומן
הטעות: מחשבים אינטגרל אחד על כל הקטע ומציגים אותו כשטח.
למה זה נכשל: חלק שנמצא מתחת לציר נספר בסימן שלילי ומקזז חלק שנמצא מעליו.
התיקון: שטח הוא אינטגרל של הפער האי־שלילי. בכל חלק של הקטע מחסירים את העקומה התחתונה מהעליונה.
מבחן 19.10.14 שאלה 14
חשבו את השטח בין $y=\sin(2x)$ לציר $x$ בקטע $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, ואת האינטגרל של $\sin(2x)$ באותו קטע.
הפונקציה אי־זוגית, ולכן האינטגרל המסומן על קטע סימטרי הוא $0$. בחצי הימני הפונקציה אי־שלילית:
$$\int_0^{\pi/2}\sin(2x)\,dx=\left[-\tfrac{\cos(2x)}{2}\right]_0^{\pi/2}=\tfrac12+\tfrac12=1$$
החצי השמאלי הוא שיקוף מתחת לציר ושטחו גם $1$. השטח הוא $2$ והאינטגרל הוא $0$.
נקודת חיתוך שלא נמצאה
הטעות: מניחים שאותה עקומה עליונה בכל הקטע.
למה זה נכשל: אחרי חיתוך הפער מחליף סימן, והאינטגרל מקזז בין החלקים.
התיקון: פותרים $f(x)=g(x)$ בתוך הקטע, ומפצלים את האינטגרל בכל נקודת חיתוך.
מבחן 24.03.22 שאלה 14
חשבו את השטח בין $y=\sqrt{x}$ ל־$y=x^3$ בקטע $[0,4]$.
החיתוכים הם ב־$x=0$ וב־$x=1$. בקטע $[0,1]$ מתקיים $\sqrt{x}\ge x^3$, ובקטע $[1,4]$ מתקיים $x^3\ge\sqrt{x}$.
$$\int_0^1(\sqrt{x}-x^3)\,dx=\tfrac23-\tfrac14=\tfrac{5}{12}$$
$$\int_1^4(x^3-\sqrt{x})\,dx=\tfrac{255}{4}-\tfrac{14}{3}=\tfrac{709}{12}$$
הסכום הוא $\frac{714}{12}=59\frac12$. בלי הפיצול מקבלים $64-\frac{16}{3}=58\frac23$, וזו אחת מאפשרויות ההסחה.
מקטע פרבולה מול אזור בין משיקים
הטעות: משתמשים בנוסחה $\frac{|a|d^3}{6}$ לכל אזור שקשור לפרבולה.
למה זה נכשל: הנוסחה עם $6$ נותנת את השטח בין הפרבולה למיתר. השטח בין הפרבולה לשני המשיקים בקצוות המיתר הוא $\frac{|a|d^3}{12}$.
התיקון: משרטטים את האזור ובודקים אילו קווים חוסמים אותו לפני שבוחרים נוסחה.
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 24
$f(x)=x^2+8$. המשיקים ב־$A(2,12)$ וב־$B(-4,24)$ נפגשים על ציר $x$. מצאו את השטח החסום בין המשיקים לגרף.
המשיקים הם $y=4x+4$ ו־$y=-8x-8$, והם נפגשים ב־$(-1,0)$.
$$\int_{-4}^{-1}(x+4)^2\,dx+\int_{-1}^{2}(x-2)^2\,dx=9+9=18$$
הבדיקה בנוסחה: $a=1$ ו־$d=6$, ולכן $\frac{216}{12}=18$. השטח בין הגרף למיתר $AB$ הוא $36$, אבל השאלה לא שואלת עליו.
שינוי קנה מידה
הטעות: מניחים שקטע ארוך יותר נותן תמיד שטח גדול יותר.
למה זה נכשל: הגובה יכול לקטון באותו יחס שבו הקטע גדל.
התיקון: מחשבים את הביטוי עם הפרמטר ומפשטים אותו.
מבחן 30.08.18 שאלה 8
מצאו את השטח מתחת ל־$y=\frac1x$ בין $x=m$ ל־$x=2m$, כאשר $m>0$.
$$\int_m^{2m}\frac{dx}{x}=\ln(2m)-\ln m=\ln 2$$
הפונקציה חיובית בקטע, ולכן זה גם השטח. התוצאה אינה תלויה ב־$m$.
קבוע אינטגרציה ותנאי התחלה
קבוע שנקבע לפני שחושבו ערכי הפונקציה
הטעות: מציבים $C$ השווה לערך הנתון, למשל $C=8$ כאשר $f(0)=8$.
למה זה נכשל: לפונקציה הקדומה עצמה יש ערך בנקודה הנתונה, למשל $e^0=1$.
התיקון: כותבים $F(x)+C$, מציבים את הנקודה ופותרים עבור $C$. אם מסכמים ערכי פונקציה, מוסיפים את $C$ בכל איבר.
מבחן 18.03.18 שאלה 3
מצאו $f$ כך ש־$f'(x)=\cos x\,e^{\sin x}$ ו־$f(0)=8$.
הביטוי $\cos x$ הוא הנגזרת הפנימית, ולכן $f(x)=e^{\sin x}+C$. מהתנאי $f(0)=1+C=8$ מקבלים $C=7$.
התשובה: $f(x)=e^{\sin x}+7$. בגזירה מקבלים את $f'$, והתנאי מתקיים.
חזקה של לוגריתם
הטעות: כותבים $e^{3\ln x}=3x$ או $e^{3\ln x}=e^{3x}$.
למה זה נכשל: המקדם $3$ הוא מעריך של $x$: $e^{3\ln x}=x^3$ כאשר $x>0$.
התיקון: מעבירים את המקדם לתוך הלוגריתם לפני שמפשטים את האקספוננט.
מבחן 20.06.24 שאלה 10
$g$ היא פונקציה קדומה של $\frac3x$, ו־$f(x)=e^{g(x)}$ עוברת דרך $(1,e^3)$. מצאו את $f(2)$.
בקטע $x>0$ מתקיים $g(x)=3\ln x+C$, ולכן $f(x)=e^{C}x^3$.
מהתנאי $f(1)=e^C=e^3$ מקבלים $f(x)=e^3x^3$, ולכן $f(2)=8e^3$. הנקודות $1$ ו־$2$ נמצאות באותו רכיב של תחום ההגדרה.
טכניקות אינטגרציה
גורם או סימן שאבדו בכלל השרשרת
הטעות: מנחשים פונקציה קדומה בלי לתקן את הנגזרת הפנימית, ולכן עונים $e^{\cos x}$ ולא $-e^{\cos x}$.
למה זה נכשל: $(\cos x)'=-\sin x$, ולכן בגזירת הניחוש מופיע סימן מינוס מיותר.
התיקון: גוזרים את הניחוש ומתקנים את הגורם הקבוע ואת הסימן.
מבחן 18.10.17 שאלה 1
מצאו $f$ כך ש־$f'(x)=e^{\cos x}\sin x$.
$$\left(-e^{\cos x}\right)'=-e^{\cos x}\cdot(-\sin x)=e^{\cos x}\sin x$$
לכן $f(x)=-e^{\cos x}+C$.
ערך מוחלט בלוגריתם
הטעות: כותבים $\ln(x^2-x-2)$ גם במקום שבו הביטוי שלילי.
למה זה נכשל: הלוגריתם אינו מוגדר במספר שלילי, ולכן מקבלים ערכים שגויים או ביטוי חסר משמעות.
התיקון: כותבים $\ln|u|$ ועובדים על רכיב קשיר אחד של התחום, כלומר על קטע שבו $u\ne0$.
מבחן 14.08.20 שאלה 16
חשבו את $\int_0^{1/2}\frac{2x-1}{x^2-x-2}\,dx$.
המונה הוא הנגזרת של המכנה. $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ שלילי ושונה מאפס בקטע $[0,\frac12]$.
$$\Big[\ln|x^2-x-2|\Big]_0^{1/2}=\ln\tfrac94-\ln2=\ln\tfrac98$$
אינטגרל של פונקציה רציונלית בלי חילוק
הטעות: מנסים לנחש לוגריתם או ארקטנגנס כאשר מעלת המונה גדולה או שווה למעלת המכנה.
למה זה נכשל: החלק הפולינומי של האינטגרנד חסר בפונקציה הקדומה.
התיקון: מחלקים פולינומים, ורק אחר כך מפרקים את השארית.
מבחן 30.06.17 שאלה 4
$f'(x)=\frac{x^4}{x^2+1}$ ו־$f(0)=2$. מצאו את $f$.
$$\frac{x^4}{x^2+1}=x^2-1+\frac{1}{x^2+1}$$
לכן $f(x)=\frac{x^3}{3}-x+\arctan x+C$. מהתנאי $f(0)=C=2$ מקבלים $f(x)=\frac{x^3}{3}-x+\arctan x+2$.
סימן באינטגרציה בחלקים
הטעות: שוכחים את המינוס של $\int\sin x\,dx=-\cos x$, או מציבים $\cos\pi=1$.
למה זה נכשל: מקבלים $0$ או $2$ במקום $-2$.
התיקון: גוזרים את הפונקציה הקדומה שהתקבלה ובודקים שמתקבל האינטגרנד.
בחינה לדוגמה 2024 שאלה 21
חשבו את $\int_0^{\pi}x\cos x\,dx$.
$(x\sin x+\cos x)'=x\cos x$. לכן:
$$\Big[x\sin x+\cos x\Big]_0^{\pi}=(0-1)-(0+1)=-2$$
בדיקת סימן: בקטע $(\frac{\pi}{2},\pi)$ האינטגרנד שלילי, והמשקל $x$ שם גדול יותר. לכן תוצאה שלילית סבירה.
גבולות אינטגרציה עם חזקות מקוננות
הטעות: קוראים את הגבול $(\sqrt{e})^e$ בצורה שגויה, למשל $e^{\sqrt e}$.
למה זה נכשל: אחרי הצבת הגבולות מתקבל מספר אחר.
התיקון: מעתיקים את הגבול בדיוק ומחשבים את הלוגריתם שלו בשלבים.
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 23
חשבו את $\int_{(\sqrt e)^e}^{e^e}\frac{dx}{\ln(x^x)}$.
$\ln(x^x)=x\ln x$, ולכן הפונקציה הקדומה היא $\ln(\ln x)$. בקטע מתקיים $x>1$, ולכן $\ln x>0$.
$\ln(e^e)=e$ ו־$\ln((\sqrt e)^e)=\frac e2$. מכאן:
$$\ln e-\ln\tfrac e2=\ln 2$$