סדרה, אינדקס וסכום חלקי
מטרת השיעור
להבחין בין איבר, אינדקס וסכום, ולספור את האיברים נכון.
מושגי יסוד
סדרה מתאימה מספר לכל אינדקס טבעי. האיבר הוא ערך הסדרה במקום נתון. האינדקס מציין את המקום. בפרק זה מתחילים באינדקס הראשון, אלא אם נאמר אחרת.
$$a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots$$
נוסחה מפורשת מחשבת איבר מתוך האינדקס. נוסחת נסיגה מחשבת איבר מתוך איברים קודמים, ולכן נדרש גם נתון התחלתי.
$$a_n=2n+1\qquad\Longleftrightarrow\qquad a_1=3,\quad a_{n+1}=a_n+2$$
סכום חלקי הוא סכום של מספר סופי של איברים. אין לזהות אותו עם האיבר האחרון.
$$S_n=\sum_{k=1}^n a_k=a_1+\cdots+a_n,\qquad S_0=0$$
ספירת איברים ופירוק סכום
בסכום עם קצות תחום כלולים, סופרים גם את הקצה הראשון וגם את הקצה האחרון.
$$\sum_{k=r}^{s} a_k\quad\Longrightarrow\quad s-r+1$$
האינדקס בתוך הסכום הוא סימן מקומי. אפשר לשנות את שמו בלי לשנות את הסכום. מוציאים גורם קבוע ומפצלים חיבור, אך אין לפצל מכפלה למכפלת סכומים.
$$\sum_{k=1}^n(ca_k+b_k)=c\sum_{k=1}^n a_k+\sum_{k=1}^n b_k$$
כדי לקבל איבר מתוך סכומים חלקיים, מחסרים שני סכומים עוקבים: כל האיברים הקודמים מתבטלים.
$$a_n=S_n-S_{n-1}$$
דוגמה פתורה
שאלה מקורית. נתון $S_n=3n^2+2n$ עבור $n\ge1$, וכן $S_0=0$. מהו $a_n$?
תרגיל מקורי
השיטה: הפרש סכומים עוקבים. מתקיים $a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2+2n-[3(n-1)^2+2(n-1)]=6n-1$. גם בבסיס $a_1=S_1=5$, כנדרש.
סכום שמתחיל מאוחר
חשבו $\sum_{k=3}^{7}(2k+1)$.
תרגיל מקורי
האיברים הם $7,9,11,13,15$. יש $7-3+1=5$ איברים וסכומם $55$. סכום האינדקסים הוא $25$, ולכן גם $2\cdot25+5=55$.
מלכודת בשיעור
בביטוי $S_n$ האינדקס מציין כמה איברים סוכמים. בביטוי $a_n$ הוא מציין מקום יחיד. למשל $a_3=7$ אינו אומר ש־$S_3=7$.
בדיקה קצרה
נתון $a_0=0$ ו־$a_{n+1}=a_n+n$. מהו $a_4$?
מציבים החל ב־$n=0$: מתקבל $a_1=0$, $a_2=1$, $a_3=3$, $a_4=6$. נקודת ההתחלה משנה את מספר המעברים.