סדרה חשבונית וסימטריה
מטרת השיעור
למצוא איברים וסכומים דרך הפרש קבוע, ממוצע וסימטריה.
הפרש קבוע
סדרה חשבונית היא סדרה שבה ההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבוע. ההפרש יכול להיות חיובי, שלילי או אפס.
$$a_{n+1}-a_n=d,\qquad a_n=a_1+(n-1)d$$
בין שני אינדקסים נתונים משתמשים במספר המעברים שביניהם:
$$a_s-a_r=(s-r)d$$
נוסחת הסכום והסיבה לה
כותבים את אותו סכום בסדר רגיל ובסדר הפוך. בכל עמודה מתקבל אותו סכום של שני איברים. לכן:
$$2S_n=n(a_1+a_n),\qquad S_n=\frac{n(a_1+a_n)}2=\frac n2(2a_1+(n-1)d)$$
איברים במרחק שווה מן האמצע הם בעלי אותו סכום. אם מספר האיברים אי־זוגי, הסכום הוא מספר האיברים כפול האיבר האמצעי.
$$a_r+a_s=2a_m\quad(r+s=2m),\qquad S_{2m-1}=(2m-1)a_m$$
האמצע קובע את הסכום
נתון $a_3+a_6+a_9+a_{12}+a_{15}=125$ בסדרה חשבונית. מצאו את $S_{17}$.
מבחן 06.10.16 שאלה 3
זוגות האינדקסים מסתכמים ב־$18$, ולכן כל זוג קיצוני סכומו $2a_9$. הסכום הנתון הוא $5a_9=125$, ומכאן $a_9=25$. האיבר האמצעי בסכום המבוקש הוא גם $a_9$, ולכן $S_{17}=17a_9=425$. אין די מידע לקביעת ההפרש, ואין צורך בו.
דוגמה פתורה
מהו סכום כל המספרים הדו־ספרתיים שספרת היחידות שלהם היא שלוש?
מבחן 30.08.18 שאלה 15
השיטה: ספרת יחידות וסכום חשבוני. המספרים הם $13,23,\ldots,93$. יש $9$ איברים, ולכן $S=9(13+93)/2=477$. אפשר גם להתחיל בספרת היחידות: תשעה איברים המסתיימים בשלוש נותנים ספרת יחידות שבע בסכום. בין האפשרויות רק $477$ מתאים. חישוב הסכום מאשר שהאפשרות שנותרה אכן נכונה.
כשהאיברים הם מספרים בעלי תכונה
קובעים את המספר הראשון ואת המספר האחרון שמקיימים את התנאי. מוצאים את ההפרש, ורק אז את מספר האיברים. דרשו שמספר האיברים יהיה טבעי.
$$n=\frac{a_n-a_1}{d}+1\quad(d\ne0)$$
כאשר סכום נתון, בודקים גם שהפתרון למספר האיברים שלם וחיובי. כאשר מבקשים לבנות סדרה, אפשר לבחור הפרש פשוט ולחשב ממנו את האיבר הראשון.
מלכודת בשיעור
אין להניח שהסדרה עולה. גם סדרה קבועה היא חשבונית. אם נדרשת סדרה שאינה קבועה, יש להוסיף $d\ne0$.
בדיקה קצרה
בסדרה חשבונית נתון $a_{50}=2.99$ ו־$a_{51}=3.03$. מהו $S_{100}$?
כל זוג סימטרי סכומו $2.99+3.03=6.02$. יש חמישים זוגות, ולכן $S_{100}=50\cdot6.02=301$.