סדרה הנדסית וסכום סופי
מטרת השיעור
לחשב איברים וסכומים גם כאשר המנה שלילית או שווה לאחת.
כפל קבוע
בסדרה הנדסית כל איבר מתקבל מהכפלת קודמו במנה קבועה. נוסחת הכפל נשארת תקפה גם כאשר איבר מסוים אפס. משתמשים ביחס רק כשמותר לחלק.
$$a_{n+1}=qa_n,\qquad a_n=a_1q^{n-1}$$
מנה חיובית שומרת על סימן האיברים. מנה שלילית מחליפה סימן בכל צעד. הערך המוחלט של המנה קובע את שינוי הגודל.
$$a_{n+r}=a_nq^r$$
גזירת נוסחת הסכום
מכפילים את הסכום במנה ומחסרים. כל האיברים הפנימיים מתבטלים.
$$S_n=a_1+a_1q+\cdots+a_1q^{n-1}$$
$$qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^n$$
$$(1-q)S_n=a_1(1-q^n)$$
כאשר המנה שונה מאחת מחלקים. כאשר היא אחת, כל האיברים שווים.
$$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\quad(q\ne1),\qquad S_n=na_1\quad(q=1)$$
לסכום סופי אין תנאי התכנסות. גם מנה שערכה המוחלט גדול מאחת מותרת.
דוגמה פתורה
שאלה מקורית. בסדרה הנדסית נתון $a_1=3$ ו־$q=-2$. מהו $S_5$?
תרגיל מקורי
השיטה: סכום הנדסי סופי עם מנה שלילית. מתקיים $S_5=3\frac{1-(-2)^5}{1-(-2)}=33$. בדיקה: $3-6+12-24+48=33$. אין צורך בתנאי התכנסות עבור סכום סופי.
איבר אמצעי ומכפלה
בסדרה הנדסית בת חמישה איברים נתון $a_1=12$ ו־$a_5=48$. מצאו את $a_3$.
מבחן 12.07.15 שאלה 18
מתקיים $a_3^2=a_1a_5=576$. כאן $a_3=12q^2>0$, ולכן $a_3=24$. אפשר גם לפתור $q^4=4$, לקבל $q=\pm\sqrt2$, ואז להציב. שתי המנות נותנות אותו איבר אמצעי. הערת מקור: בפתרון הרשמי יש שגיאת אינדקס במקום האיבר החמישי.
תת־סדרה וסכומים משוקללים
דילוג קבוע בין אינדקסים נותן סדרה הנדסית חדשה. האיבר הראשון שלה הוא האיבר שבאמת נבחר ראשון.
$$a_r,a_{r+m},a_{r+2m},\ldots\quad\Longrightarrow\quad q^m$$
כאשר מקדמי האיברים משתנים, בודקים מה נותן כפל במנה וחיסור. למשל:
$$T_n=\sum_{k=1}^n k2^k,\qquad 2T_n-T_n=n2^{n+1}-\sum_{k=1}^n2^k$$
$$T_n=(n-1)2^{n+1}+2$$
החיסור כאן נותן סכום הנדסי רגיל, שאפשר לחשב מן הנוסחה שכבר הוכחה.
מלכודת בשיעור
בחזקת המנה בנוסחת האיבר מופיע $n-1$, ובנוסחת הסכום מופיע $n$. כתבו תחילה את האיבר הראשון ואת האיבר השני כדי לבדוק את האינדקס.
בדיקה קצרה
חשבו $1-\frac13+\frac1{3^2}-\cdots-\frac1{3^9}$.
יש עשרה איברים ומנה $q=-1/3$. לכן הסכום הוא $\frac34(1-3^{-10})$. הסימן באיבר האחרון מתאים לחזקה אי־זוגית.