טור הנדסי אינסופי וזנבות
מטרת השיעור
לבדוק התכנסות ולחשב זנב, תת־סדרה וטור ריבועים.
מתי מותר לסכום אינסוף איברים
טור הוא סכום של איברי סדרה. סכום טור אינסופי מוגדר כגבול הסכומים החלקיים. בטור הנדסי שאיברו הראשון שונה מאפס, הסכום קיים בדיוק כאשר הערך המוחלט של המנה קטן מאחת.
$$|q|<1\quad\Longrightarrow\quad S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a_1}{1-q}$$
ההסבר הוא שחזקות המנה שואפות לאפס. טור שכל איבריו אפס הוא מקרה נפרד, וסכומו אפס. אם המנה שלילית בתחום המותר, הסימנים מתחלפים אך הטור עדיין מתכנס.
זנב ותת־סדרה
הזנב לאחר מספר נתון של איברים מתחיל באיבר הבא. הוא עותק של הטור המלא מוכפל בחזקת המנה המתאימה.
$$R_m=\sum_{k=m+1}^{\infty}a_k=\frac{a_1q^m}{1-q}=q^mS$$
טור שמורכב מכל איבר קבוע במרווח משתמש במנה חדשה ובאיבר ראשון חדש.
$$a_r+a_{r+m}+a_{r+2m}+\cdots=\frac{a_1q^{r-1}}{1-q^m}$$
אם משווים סכומים, מחלקים רק לאחר שבודקים שהסכום במכנה אינו אפס.
דוגמה פתורה
בסדרה הנדסית אינסופית מתקיים $-1<q<1$. סכום שלושת האיברים הראשונים הוא $6$, וסכום שאר האיברים הוא $-\frac{2}{3}$. מצאו את $q$.
מבחן 20.06.24 שאלה 1
השיטה: יחס הזנב לסכום הכולל. הסכום הכולל הוא $S=6-\frac{2}{3}=\frac{16}{3}$. הזנב מתחיל באיבר הרביעי, ולכן הוא $q^3S$. נקבל $q^3=(-\frac{2}{3})/(\frac{16}{3})=-\frac18$, כלומר $q=-\frac12$. מתקיים $|q|<1$. האיבר הראשון הוא $a_1=S(1-q)=8$, ושלושת האיברים הראשונים הם $8,-4,2$; סכומם אכן $6$.
דוגמה פתורה
נתונה סדרה הנדסית אינסופית עם $a_1\ne0$, $q\ne0$ ו־$|q|<1$. סכום $a_3+a_6+a_9+\cdots$ הוא חמישית מסכום הסדרה המלאה. למנה שני ערכים אפשריים. מהו סכומם?
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 13
השיטה: תת־סדרה ווייטה. הסכום המלא הוא $a_1/(1-q)$, והסכום החלקי הוא $a_1q^2/(1-q^3)$. היחס נותן $\frac{q^2}{1+q+q^2}=\frac15$, ולכן $4q^2-q-1=0$. לפי וייטה סכום השורשים הוא $1/4$. השורשים עצמם הם $\frac{1\pm\sqrt{17}}8$. שניהם שונים מאפס ונמצאים בתחום $(-1,1)$, כי $4<\sqrt{17}<5$. לפיכך שניהם מותרים ולא אבד פתרון בצמצום.
ריבוע הסכום לעומת סכום הריבועים
ריבוע הסכום מכיל גם מכפלות בין איברים. טור ריבועי האיברים הוא טור הנדסי אחר, שמנתו ריבוע המנה המקורית.
$$S^2=\frac{a_1^2}{(1-q)^2},\qquad\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2=\frac{a_1^2}{1-q^2}$$
מלכודת בשיעור
בזנב לאחר שלושה איברים מופיע $q^3$. בטור $a_3+a_6+\cdots$ האיבר הראשון הוא $a_1q^2$ והמנה היא $q^3$. אלה שני חישובים שונים.
בדיקה קצרה
טור הנדסי עם $a_1=6$ ו־$q=-1/2$ מתכנס. מהו סכומו ומהו הזנב לאחר שני איברים?
הסכום הוא $6/(1+1/2)=4$. הזנב הוא $q^2S=1$. שני האיברים הראשונים הם $6,-3$, שסכומם שלוש, ולכן הבדיקה מתאימה.