נסיגה: זיהוי, הזזה והפרש סכומים
מטרת השיעור
להפוך נוסחת נסיגה לנוסחה מפורשת ולהוכיח שהיא תקפה.
הנתון ההתחלתי הוא חלק מההגדרה
כדי לחשב נסיגה צריך לדעת היכן היא מתחילה ואילו פעולות מותרות. מחשבים כמה איברים, מזהים מבנה, ואז מוכיחים את הנוסחה. דפוס בכמה איברים הוא רמז בלבד.
$$a_{n+1}-a_n=g(n)\quad\Longrightarrow\quad a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}g(k)$$
דוגמה פתורה
שאלה מקורית. נתון $a_1=1$ ו־$a_{n+1}=a_n+2n+1$ עבור $n\ge1$. מהו $a_{10}$?
תרגיל מקורי
השיטה: סכימת הפרשים. מתקיים $a_{10}=1+\sum_{n=1}^9(2n+1)=1+2\cdot45+9=100$. באופן כללי $a_n=n^2$: הבסיס נכון, וההפרש $(n+1)^2-n^2=2n+1$ מקיים את הנסיגה.
הזזה לנקודת שבת
בנסיגה עם כפל והוספת קבוע, מחפשים ערך שאינו משתנה תחת הנסיגה. מחסרים אותו מכל איבר.
$$a_{n+1}=ra_n+c,\qquad L=rL+c,\qquad L=\frac{c}{1-r}\quad(r\ne1)$$
$$b_n=a_n-L\quad\Longrightarrow\quad b_{n+1}=rb_n$$
$$a_n=L+(a_1-L)r^{n-1}$$
כאשר גורם הכפל שווה לאחת, הנסיגה היא חשבונית: מוסיפים את הקבוע בכל צעד.
הזזה שמבטלת את הקבוע
נתון $a_1=1$ ו־$a_n=3a_{n-1}+1$ עבור $n\ge2$. מצאו נוסחה מפורשת.
מבחן 18.03.18 שאלה 16
נקודת השבת היא $L=-1/2$. נגדיר $b_n=a_n+1/2$. אז $b_n=3b_{n-1}$ ו־$b_1=3/2$. לכן $a_n=(3^n-1)/2$. בבסיס מתקבל אחת. הצבה בנוסחת הנסיגה מאשרת את כל המעברים.
נסיגה בסכומים חלקיים
אם הסכום החדש תלוי בסכום הקודם, מחסרים שתי משוואות עוקבות. יש לבדוק גם את המעבר הראשון בנפרד.
$$S_{n+1}=bS_n+S_1\quad\Longrightarrow\quad a_{n+1}=ba_n\quad(n\ge2)$$
במעבר הראשון מתקיים גם:
$$a_2=S_2-S_1=bS_1=ba_1$$
לכן כל הסדרה הנדסית. שיטה זו הופכת נתון על סכומים לנתון על איברים.
דוגמה פתורה
נתונה הסדרה $a_1=1$, $a_{n+1}=\log_2(2a_n+1)-\log_2 a_n$. בחרו את ההיגד הנכון.
מבחן 28.03.24 שאלה 7
השיטה: מקרה קטן ולאחריו הוכחת חילוף סדר. נגדיר $f(t)=\log_2(2+1/t)$ עבור $t>0$. מתקיים $a_2=\log_2 3>1=a_1$. הפונקציה $f$ יורדת, כי ההופכי יורד והלוגריתם עולה. כל איבר חיובי גורר $a_{n+1}>1$, ולכן הנסיגה מוגדרת לכל אינדקס. הפעלת $f$ על כל השוואה הופכת את כיוונה. מן ההשוואה הראשונה מתקבלות לסירוגין עלייה וירידה, בדיוק לפי ההיגד השני. בדיקת האיבר הראשון לבדה כבר פוסלת את שלוש האפשרויות האחרונות.
מלכודת בשיעור
בנסיגה עם לוגריתם או מכנה יש לבדוק שהאיבר הבא מוגדר. אם מגלים חילוף סדר, אין להסיק שכל הסדרה עולה או יורדת.
בדיקה קצרה
נתון $a_1=1$, $a_{n+1}=2a_n+1$. מהו $S_{20}$?
מזיזים באמצעות $b_n=a_n+1$, ולכן $a_n=2^n-1$. מכאן $S_{20}=2(2^{20}-1)-20=2^{21}-22$.