סכומים משולבים: צימוד, טלסקופ ולוגריתמים
מטרת השיעור
לבחור פירוק מתאים לסכום מורכב ולסיים בלי מחשבון.
מזהים מבנה לפני חשבון
סכום שאינו חשבוני או הנדסי בצורתו המקורית עשוי להפוך לכזה לאחר פירוק. בודקים צימוד סמוכים, הפרדת אינדקסים זוגיים, הפרש שברים או נוסחה לסכום פנימי.
דוגמה פתורה
נתונה הסדרה $a_n=(-1)^{n+1}n$ עבור $n\ge1$. סכום $k$ האיברים הראשונים הוא $23$. מצאו את $k$.
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 5
השיטה: צימוד איברים סמוכים. כל זוג נותן $(2j-1)-2j=-1$. לכן $S_{2m}=-m$ אינו חיובי. עבור מספר אי־זוגי של איברים מתקיים $S_{2m+1}=-m+(2m+1)=m+1$. מן $m+1=23$ נקבל $m=22$ ו־$k=45$. כך נבדקו שני סוגי האינדקסים, ולא רק אפשרות אחת.
סכום טלסקופי
מפרקים כל איבר להפרש של שני איברים עוקבים. כותבים את האיברים הראשונים ואת האיבר האחרון כדי לראות מה מתבטל.
$$\frac1{k(k+1)}=\frac1k-\frac1{k+1}$$
$$\sum_{k=r}^{s}\frac1{k(k+1)}=\frac1r-\frac1{s+1}$$
מכנים שהם בעצמם סכומים
מצאו $x$ כך ש־$x+\frac{x}{1+2}+\frac{x}{1+2+3}+\cdots+\frac{x}{1+2+\cdots+2021}=2021$.
מבחן 14.09.21 שאלה 11
המכנה באיבר הכללי הוא $k(k+1)/2$. מוציאים $2x$ ומקבלים $2x\sum_{k=1}^{2021}(1/k-1/(k+1))=2x(1-1/2022)$. לכן $2x\cdot2021/2022=2021$, ומכאן $x=1011$. כל המכנים חיוביים, ולכן הפעולות מותרות.
דוגמה פתורה
נתונה הסדרה $a_n=\sum_{k=1}^n2^k$. מהו $a_1+a_2+\cdots+a_{10}$?
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 20
השיטה: פישוט הסכום הפנימי. מן הנוסחה לסכום הנדסי נקבל $a_n=2^{n+1}-2$. לכן $\sum_{n=1}^{10}a_n=\sum_{n=1}^{10}2^{n+1}-20=4(2^{10}-1)-20=2^{12}-24$. בסכום החיצוני יש עשרה איברים, ולכן מחסרים $20$.
דוגמה פתורה
בסדרה הנדסית נתון $a_1=8$, $a_4=64$. עבור $m$ טבעי מתקיים $\log_2a_1+\cdots+\log_2a_m=42$. מצאו את $m$.
מבחן 27.01.22 שאלה 1
השיטה: לוגריתם משנה את סוג הסדרה. מן $64=8q^3$ נקבל $q=2$. לכן $a_n=2^{n+2}$ וכל האיברים חיוביים. הלוגריתמים הם $3,4,5,\ldots,m+2$. סכומם הוא $m(m+5)/2=42$, ולכן $(m-7)(m+12)=0$. רק $m=7$ טבעי. אפשר להציב את האפשרויות בסכום החשבוני; עבור שבעה איברים הממוצע הוא שש והסכום הוא $42$.
מספר מחזורי כשבר
מזיזים מחזור שלם באמצעות כפל בחזקה של עשר. מחסרים כדי לבטל את הזנב החוזר. אם יש קידומת שאינה מחזורית, מזיזים אותה תחילה.
$$x=0.72222\ldots,\qquad10x=7.2222\ldots,\qquad100x=72.2222\ldots$$
$$90x=65,\qquad x=\frac{13}{18}$$
מבחן 24.03.21 שאלה 17
אפשר לקבל אותה תוצאה גם דרך טור הנדסי: הקידומת היא שבע עשיריות, והזנב מתחיל בשתי מאיות עם מנה של עשירית.
סכום ספרות והיעדר נשיאה
הצבה של ערך קטן יכולה להציע תשובה, אך יש להוכיח שהיא נשמרת. בפיתוח המבוסס על חזקות של עשר, בודקים שאין שני מחוברים באותו מקום ושכל מקדם קטן מעשר. רק אז סכום המקדמים הוא גם סכום הספרות.
דוגמה פתורה
לכל מספר טבעי $m>0$, מהו סכום הספרות של $(10^m+1)^3$?
מבחן 14.08.20 שאלה 7
השיטה: בינום ללא נשיאה. מתקיים $(10^m+1)^3=10^{3m}+3\cdot10^{2m}+3\cdot10^m+1$. מאחר ש־$m\ge1$, ארבע הספרות שאינן אפס נמצאות במקומות שונים. כל מקדם קטן מעשר, ולכן אין נשיאה. סכום הספרות הוא $1+3+3+1=8$. הצבת $m=1$ נותנת $1331$, אך יש להוסיף את נימוק היעדר הנשיאה כדי להוכיח את התוצאה לכל $m$.
מלכודת בשיעור
בסכום מקונן אין להחליף את כל האיברים באיבר האחרון. פותרים תחילה את הסכום הפנימי לכל אינדקס, ואז סוכמים את הביטוי שקיבלתם.
בדיקה קצרה
חשבו $\sum_{k=2}^{99}\frac1{k(k+1)}$.
הביטול משאיר $1/2-1/100=49/100$. הקצה האחרון הוא מאית, משום שבמכנה השני מופיע האינדקס הבא.