מקדמים: חזקה מבוקשת בלי פיתוח מלא
מטרת השיעור
למצוא איבר חופשי, לזהות חזקה חסרה ולספור בחירות במכפלה.
משוואה אחת למעריך
כאשר בכל גורם יש חזקה של המשתנה, כותבים איבר כללי ומחברים את המעריכים. משווים את החזקה הכוללת לחזקה המבוקשת.
$$(Ax^r+Bx^s)^n:\qquad T_k=\binom nk A^{n-k}B^k x^{r(n-k)+sk}$$
לפני חישוב המקדם בודקים שהאינדקס שלם ובתחום. אם אין אינדקס כזה, המקדם הוא אפס. איבר חופשי הוא המקרה שבו החזקה הכוללת אפס.
$$r(n-k)+sk=t,\qquad k\in\{0,1,\ldots,n\}$$
דוגמה פתורה
מצאו את האיבר החופשי מ־$x$ בפיתוח $(x^3-3/x^2)^{15}$.
בחינה לדוגמה 2024 שאלה 15
השיטה: התאמת מעריך יחיד. האיבר הכללי בבחירה של $k$ גורמים שליליים הוא $\binom{15}{k}(-3)^kx^{45-5k}$. איבר חופשי מחייב $45-5k=0$, ולכן $k=9$. זהו אינדקס שלם בתחום. המקדם הוא $\binom{15}{9}(-3)^9=\binom{15}{6}(-3)^9$. הסימן שלילי, כי החזקה של הגורם השלילי אי־זוגית.
דוגמה פתורה
יהי $f(x)=(\sqrt{x}+1/x)^{22}$ עבור $x>0$. נסמן את המקדם החופשי ב־$a$, את המקדם של $x$ ב־$b$, ואת המקדם של $x^2$ ב־$c$. בחרו את הטענה הנכונה.
מבחן 20.06.24 שאלה 3
השיטה: בדיקת קיום חזקה לפני חישוב מקדם. בחירה של $k$ גורמים מהצורה $1/x$ נותנת $\binom{22}{k}x^{11-3k/2}$. עבור החזקות $0,1,2$ מתקבלים בהתאמה $k=22/3,20/3,6$. שני האינדקסים הראשונים אינם שלמים, ולכן $a=b=0$. לעומת זאת $c=\binom{22}{6}>0$, ולכן $c>b$. כל בחירה תקפה חייבת לקיים $k\in\{0,\ldots,22\}$.
דוגמה פתורה
יהי $p(x)=(x^2-3)^n(5x-1)$, כאשר $n$ טבעי. המקדם החופשי הוא $-81$. מצאו את המקדם של $x^7$.
מבחן 28.03.24 שאלה 3
השיטה: איבר חופשי וזוגיות לפני פיתוח. מתקיים $p(0)=-(-3)^n=-81$, ולכן $n=4$. בביטוי $(x^2-3)^4$ יש רק חזקות זוגיות. לפיכך רק הכפלה ב־$5x$ יכולה לתת $x^7$. המקדם של $x^6$ הוא $\binom{4}{3}(-3)=-12$, והמקדם המבוקש הוא $5(-12)=-60$. הכפלה ב־$-1$ אינה מוסיפה תרומה לחזקה אי־זוגית.
מכפלה של כמה גורמים
במכפלה, סכום החזקות שנבחרו חייב להיות החזקה המבוקשת. מונים רק צירופים אפשריים. אין צורך ליצור איברים שאינם יכולים לתרום.
$$(1+x+x^4)^3:\qquad i+j+k=3,\quad j+4k=8$$
הפתרון היחיד באינדקסים שלמים שאינם שליליים הוא בחירת שני גורמים עם חזקה רביעית וגורם קבוע אחד. יש שלוש דרכים לבחור את מקום הגורם הקבוע, ולכן המקדם הוא שלוש.
מבחן 04.11.15 שאלה 14
חזקות זוגיות וגזירה
פולינום שמכיל רק חזקות זוגיות הוא זוגי. הנגזרת שלו מכילה רק חזקות אי־זוגיות. לכן מקדם של חזקה זוגית בנגזרת כזאת הוא אפס.
$$f(x)=(1+x^2)^{18}\quad\Longrightarrow\quad f\prime(x)=36x(1+x^2)^{17}$$
בפרט, המקדם של החזקה העשירית בנגזרת הוא אפס.
מבחן 18.03.18 שאלה 7
כאשר נדרש מקדם בפולינום מתוך הנגזרת שלו, יש לתקן גם את החזקה וגם את הגורם שנוצר בגזירה.
$$p(x)=\sum_j c_jx^j\quad\Longrightarrow\quad p\prime(x)=\sum_j jc_jx^{j-1}$$
מלכודת בשיעור
פתרון משוואת המעריך אינו סוף הפתרון. יש לבדוק את תחום האינדקס, את סימן המקדם ואת כל הגורמים שמחוץ לבינום.
בדיקה קצרה
איזו חזקה של $y$ מלווה את $x^{12}$ בפיתוח $(x^6+y^5)^7$?
צריך לבחור שני גורמי $x^6$, ולכן נותרים חמישה גורמי $y^5$. החזקה היא $y^{25}$ והמקדם הוא $\binom72=21$.