הבינום של ניוטון ומשולש פסקל
מטרת השיעור
להבין מקדמי בחירה, לפתח בינום ולהשלים סכום חסר.
עצרת ומקדם בחירה
עצרת היא מכפלת המספרים הטבעיים עד למספר נתון. מגדירים גם עצרת אפס. מקדם הבחירה סופר כמה קבוצות בגודל נתון אפשר לבחור מתוך קבוצה סופית.
$$n!=1\cdot2\cdots n,\qquad0!=1,\qquad\binom nk=\frac{n!}{k!(n-k)!}\quad(0\le k\le n)$$
האינדקסים חייבים להיות שלמים. לבחירה של קבוצה ולבחירה של המשלימה שלה יש אותו מספר אפשרויות.
$$\binom nk=\binom n{n-k}$$
מהיכן מגיעה הנוסחה
במכפלת סוגריים זהים בוחרים בכל סוגר את אחד משני המחוברים. אם בוחרים את המחובר השני במספר נתון של סוגריים, מספר הדרכים לעשות זאת הוא מקדם הבחירה.
$$(u+v)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk u^{n-k}v^k$$
יש מספר איברים הגדול באחת מחזקת הבינום. סכום החזקות בכל איבר נשאר קבוע.
$$\binom n0=\binom nn=1,\qquad\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$$
זהות פסקל מתקבלת מחלוקה לשני מקרים: בוחרים איבר מסוים, או לא בוחרים אותו. היא בונה כל שורה משתי המשבצות שמעליה, וגם מוכיחה את הבינום באינדוקציה לאחר כפל נוסף בסוגריים.
$$(u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3$$
פיתוח עם סימן שלילי
פתחו $(2-x)^4$.
תרגיל מקורי
השורה המתאימה במשולש פסקל היא $1,4,6,4,1$. מציבים את החזקות ושומרים על סימני $(-x)^k$: מתקבל $16-32x+24x^2-8x^3+x^4$. בדיקה בהצבה $x=0$ נותנת $16$, ובהצבה $x=2$ נותנת אפס.
סכומי מקדמים והצבות
הצבת אחת בפולינום נותנת את סכום כל מקדמיו. הצבת מינוס אחת נותנת סכום עם סימנים מתחלפים. בבינום מקבלים:
$$\sum_{k=0}^n\binom nk=2^n,\qquad\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk=0\quad(n\ge1)$$
אם חסר איבר קצה, משלימים לבינום המלא ומחסרים את האיבר שנוסף.
דוגמה פתורה
מהו הסכום $\binom n0x^n(1-x)^0+\binom n1x^{n-1}(1-x)+\cdots+\binom n{n-1}x(1-x)^{n-1}$ עבור $n\ge1$?
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 15
השיטה: השלמת בינום. מוסיפים את האיבר החסר $\binom nnx^0(1-x)^n=(1-x)^n$. הסכום המלא הוא $(x+(1-x))^n=1$. לכן הסכום המקורי הוא $1-(1-x)^n$. זו זהות פולינומית, התקפה לכל $x$ ממשי. הצבה מיוחדת יכולה לפסול אפשרויות, אך הזהות מוכיחה את התשובה לכל הנתונים.
מלכודת בשיעור
מקדם הוא המספר שכופל את החזקה. הוא יכול להיות שלילי. אין להשמיט את סימן הגורם השני כאשר מעלים אותו בחזקה.
בדיקה קצרה
מהו $\sum_{k=0}^{9}\binom{10}{k}$?
הסכום המלא הוא $2^{10}$. חסר האיבר $\binom{10}{10}=1$, ולכן התוצאה היא $1023$.