משמעות הנגזרת וגזירות
משיפוע ממוצע לשיפוע בנקודה
הנגזרת מודדת את קצב השינוי הרגעי. היא גם שיפוע המשיק לגרף בנקודה. השיפוע בין שתי נקודות הוא מנה של שינוי בערכים ושינוי בקלט:
$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$אם הגבול קיים וסופי, הפונקציה גזירה בנקודה:
$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$יש לחשב את הגבול משני הצדדים באותה נקודה פנימית. גזירות גוררת רציפות. רציפות לבדה אינה מבטיחה גזירות.
גזירה מההגדרה
מצאו את הנגזרת של $f(x)=x^2$ בנקודה $x=a$.
תרגיל מקורי
נפתח רק את המונה ונצמצם כאשר $h\ne0$:
$$\frac{(a+h)^2-a^2}{h}=2a+h\longrightarrow2a.$$לכן $f'(a)=2a$ לכל קלט ממשי. בפרט, שיפוע המשיק בראשית הוא $0$.
פונקציה שמוגדרת בחלקים
בנקודת חיבור בדקו תחילה רציפות. לאחר מכן השוו נגזרת משמאל ונגזרת מימין. שתי הנגזרות חייבות להיות סופיות ושוות. גזירת כל חלק בנפרד אינה מספיקה.
למשל, $f(x)=|x|$ רציפה בראשית, אך הנגזרות החד־צדדיות הן $-1$ ו־$1$. לכן אין שם נגזרת. לעומת זאת, עבור $g(x)=x|x|$ שתי מנות ההפרשים שואפות ל־$0$.
קירוב מתוך טבלת ערכים
נתון $f(2.9)=9.8$ וגם $f(3.1)=10.4$. תנו קירוב ל־$f\prime(3)$.
מבחן 02.11.16 שאלה 1
נשתמש בשיפוע בין שתי הנקודות הסמוכות:
$$f'(3)\approx\frac{10.4-9.8}{3.1-2.9}=3.$$זהו קירוב בלבד. שני ערכי הפונקציה אינם קובעים את הנגזרת המדויקת בנקודת האמצע.
פינה אינה משיק אופקי
נגזרת שאינה קיימת שונה מנגזרת ששווה ל־$0$. למשל, ל־$|x|$ יש מינימום בראשית, אף שאין שם נגזרת. גם גבול אינסופי של מנת ההפרשים אינו נגזרת סופית.
בדיקה עצמית
האם הפונקציה $f(x)=x^3$ גזירה בראשית לפי ההגדרה?
מנת ההפרשים היא $h^2$, ולכן $f\prime(0)=0$. הגבול זהה משני הצדדים.