עמוד ראשי / נגזרות וחקירת פונקציות

כללי גזירה וכלל השרשרת

כללי העבודה

בכל נוסחה נדרש שהפונקציות יהיו גזירות בנקודה. בכלל המנה נדרש גם מכנה שאינו מתאפס.

$$\begin{aligned}(c)'&=0,&(x^r)'&=rx^{r-1},\\(u+v)'&=u'+v',&(cu)'&=cu',\\(uv)'&=u'v+uv',&\left(\frac uv\right)'&=\frac{u'v-uv'}{v^2}. \end{aligned}$$

כלל החזקה חל בנקודות שבהן החזקה מוגדרת וגזירה. לחזקה ממשית כללית אפשר לעבוד בתחום $x>0$.

$$\begin{aligned}(e^x)'&=e^x,&(a^x)'&=a^x\ln a\quad(a>0),\\(\ln x)'&=\frac1x\quad(x>0),&(\ln|x|)'&=\frac1x\quad(x\ne0),\\(\sin x)'&=\cos x,&(\cos x)'&=-\sin x,\\(\tan x)'&=\frac1{\cos^2x},&(\cot x)'&=-\frac1{\sin^2x},\\(\arcsin x)'&=\frac1{\sqrt{1-x^2}},&(\arccos x)'&=-\frac1{\sqrt{1-x^2}},\\(\arctan x)'&=\frac1{1+x^2}.\end{aligned}$$

הנוסחאות הטריגונומטריות משתמשות ברדיאנים. נגזרות ארקסינוס וארקקוסינוס בנוסחאות אלה דורשות $|x|<1$.

גוזרים מבחוץ פנימה

בהרכבה גוזרים את הפונקציה החיצונית בקלט הפנימי, ואז כופלים בנגזרת הפנימית:

$$\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))g'(x).$$

למשל, $\bigl(\ln(1+x^2)\bigr)'=2x/(1+x^2)$. אין לגזור את הלוגריתם כאילו הקלט שלו הוא המשתנה עצמו.

שתי שכבות של הרכבה

נתון $g(9)=0$ וגם $g\prime(9)=5$. הגדירו $f(x)=e^{g(x^2)}$. חשבו את $f\prime(3)$.

מבחן 02.11.16 שאלה 19

שתי הרחבות שימושיות

חזקה עם מעריך משתנה

עבור $y=x^x$ בתחום $x>0$, נכתוב $\ln y=x\ln x$. גזירה נותנת $y'/y=\ln x+1$, ולכן $y'=x^x(\ln x+1)$. מותר לקחת לוגריתם רק לאחר בדיקת חיוביות.

גזירה סתומה

אם $x^2+y^2=25$ והעקום מגדיר פונקציה גזירה מקומית, אז $2x+2yy'=0$. לכן $y'=-x/y$ כאשר $y\ne0$. בנקודה שבה $y=0$ אין להסיק שיפוע סופי מנוסחה זו.

מכפלה אינה מכפלת הנגזרות

הכלל הנכון הוא סכום של שני איברים. לדוגמה, $(x e^x)\prime=e^x+xe^x$. לפני גזירת מנה בדקו אם אפשר לפשט אותה.

בדיקה עצמית

גזרו את $h(x)=2^{x^2}$.