משיקים, אנכים וקירוב לינארי
נקודה ושיפוע קובעים ישר
בנקודה שבה הפונקציה גזירה, משוואת המשיק היא:
$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$משיקים מקבילים מקיימים שוויון שיפועים. עבור שני ישרים עם שיפועים סופיים ושונים מאפס, אנכיות מתקיימת כאשר $m_1m_2=-1$. האנך למשיק נקרא נורמל.
ליד נקודת ההשקה אפשר להשתמש בקירוב $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$. הקירוב שימושי כאשר השינוי קטן. הוא אינו שוויון כללי.
משיק מקביל וישר חותך
יהא $L$ המשיק לגרף $f(x)=x^2-2x$, המקביל לישר $y=4x-3$. מצאו את חיתוכו עם $y=\frac12x-2$.
בחינה לדוגמה 2024 שאלה 2
שיפוע המשיק הוא $4$. לכן $2a-2=4$, ומכאן $a=3$. ערך הפונקציה הוא $f(3)=3$.
$$L:\ y-3=4(x-3),\qquad y=4x-9.$$נשווה את שני הישרים:
$$4x-9=\frac12x-2\quad\Longrightarrow\quad x=2,\ y=-1.$$הנקודה $(2,-1)$ נמצאת בשני הישרים, ולכן היא נקודת החיתוך.
משיקים מאונכים
לגרף $y=2x^4$ יש משיק בנקודה $x=a$, המאונך למשיק בנקודה $x=1$. מצאו את $a$.
מבחן 05.06.20 שאלה 10
הנגזרת היא $8x^3$. בנקודה הנתונה השיפוע הוא $8$, ולכן השיפוע הדרוש הוא $-1/8$.
$$8a^3=-\frac18\quad\Longrightarrow\quad a^3=-\frac1{64}\quad\Longrightarrow\quad a=-\frac14.$$מכפלת השיפועים היא $-1$, כנדרש.
המשיק אינו חייב לחתוך את הגרף רק פעם אחת
התנאי הוא שוויון בערך ובשיפוע בנקודת ההשקה. אין לבדוק רק אם ישר עובר דרך נקודה על הגרף. במשיק אופקי הנורמל אנכי, ולכן משוואתו היא $x=a$.
בדיקה עצמית
מצאו משיק ל־$f(x)=\sqrt x$ בנקודה $x=4$, והשתמשו בו לקירוב $\sqrt{4.04}$.
המשיק הוא $y=2+\frac14(x-4)$. לכן $\sqrt{4.04}\approx2.01$. הנורמל באותה נקודה הוא $y-2=-4(x-4)$.