עלייה, ירידה וקיצון מקומי
הסימן של הנגזרת
על קטע שבו הפונקציה גזירה, נגזרת חיובית מבטיחה עלייה ממש, ונגזרת שלילית מבטיחה ירידה ממש. נגזרת אי־שלילית מבטיחה שהפונקציה אינה יורדת. אפסים מבודדים של הנגזרת אינם מונעים עלייה ממש.
בקיצון מקומי משווים את הערך לערכים קרובים בתחום. בנקודה פנימית וגזירה, קיצון מחייב $f'(a)=0$. התנאי אינו מספיק.
- מעבר של הנגזרת מחיובי לשלילי נותן מקסימום מקומי.
- מעבר משלילי לחיובי נותן מינימום מקומי.
- ללא מעבר סימן, אפס של הנגזרת אינו קיצון.
לבניית טבלת סימנים סמנו את אפסי הנגזרת ואת גבולות התחום. בדקו סימן בכל קטע. אין לחבר קטעים דרך נקודה שאינה בתחום.
מסננים לפני שמסווגים
חקרו קיצון מקומי של $f(x)=x+\ln(3-x^2)$ בתחום ההגדרה המרבי.
מבחן 22.08.24 שאלה 9
תחילה נדרוש $3-x^2>0$, ולכן התחום הוא $(-\sqrt3,\sqrt3)$.
$$f'(x)=\frac{3-x^2-2x}{3-x^2}=-\frac{(x+3)(x-1)}{3-x^2}.$$הערך $x=-3$ אינו בתחום. בתחום כולו המכנה וגם $x+3$ חיוביים. לכן הנגזרת חיובית לפני $x=1$ ושלילית אחריו.
יש נקודת קיצון מקומי אחת: מקסימום ב־$x=1$, שערכו $1+\ln2$. הקצוות אינם כלולים, והנגזרת קיימת בשאר התחום.
פרמטר עלול לשנות את סוג המשוואה
עבור $f(x)=e^{ax}/(1+x^2)$ סימן הנגזרת הוא סימן $ax^2-2x+a$. כדי לקבל שני קיצונים נדרשים שני שורשים פשוטים:
$$a\ne0,\qquad\Delta=4-4a^2>0.$$לכן $a\in(-1,0)\cup(0,1)$. כאשר $a=0$ נשאר מונה לינארי, שנותן קיצון אחד. כאשר $a=\pm1$ השורש כפול ואין מעבר סימן. כאשר $|a|>1$ אין אפסים.
מבחן 27.01.22 שאלה 9
אפס של הנגזרת אינו הוכחת קיצון
ל־$f(x)=x^3$ יש נגזרת אפס בראשית, אך הפונקציה עולה משני הצדדים. בפונקציה חדשה כגון $g(x)=3f(x)+x^2$ יש לבדוק את $g\prime$ מחדש. קיצון של הפונקציה הישנה אינו עובר אוטומטית לחדשה.
בדיקה עצמית
האם ל־$f(x)=1/\sqrt{x^2-x}$ יש קיצון מקומי?
התחום הוא $(-\infty,0)\cup(1,\infty)$. הנגזרת היא $-(2x-1)/(2(x^2-x)^{3/2})$. האפס היחיד האפשרי, $x=1/2$, אינו בתחום. אין קיצון מקומי.