קיצון מוחלט ובעיות מקסימום ומינימום
משווים את כל המועמדים
מינימום מוחלט הוא הערך הנמוך ביותר בכל התחום. מקסימום מוחלט הוא הערך הגבוה ביותר. פונקציה רציפה בקטע סגור וחסום מקבלת את שניהם.
- כתבו את התחום המקורי.
- מצאו נקודות פנימיות שבהן הנגזרת מתאפסת או אינה קיימת.
- הוסיפו קצוות שכלולים בתחום.
- חשבו את הערך בכל מועמד והשוו.
- בתחום פתוח או לא חסום בדקו גם גבולות. גבול שאינו מתקבל אינו ערך קיצון.
קצה ופינה באותה שאלה
מצאו את ההפרש בין המקסימום המוחלט למינימום המוחלט של $f(x)=3x^2-|x-1|$ בתחום $[0,2]$.
בחינה לדוגמה 2024 שאלה 12
בחלק הראשון הנגזרת היא $6x+1>0$. בחלק השני הנגזרת היא $6x-1>0$. הפונקציה רציפה בנקודת החיבור, ולכן היא עולה בכל הקטע.
$$f(0)=-1,\quad f(1)=3,\quad f(2)=11.$$ההפרש הוא $11-(-1)=12$. הפינה נבדקה אף שהפונקציה אינה גזירה בה.
בטקסט הפתרון המקורי יש טעות כתיב בנוסחת החלק התחתון. כאן השתמשנו בפירוק שנובע ישירות מהערך המוחלט.
מינימום שמתקבל פעמיים
ל־$f(x)=\sqrt{x^3}-6x+9\sqrt x-36$ מצאו את המינימום המוחלט ואת כל נקודות קבלתו.
מבחן 20.06.24 שאלה 9
התחום הוא $x\ge0$. נציב $t=\sqrt x$, ולכן $t\ge0$.
$$f(x)+36=t^3-6t^2+9t=t(t-3)^2\ge0.$$שוויון מתקיים בדיוק כאשר $t=0$ או $t=3$, כלומר ב־$x=0$ וב־$x=9$. המינימום הוא $-36$. כאשר $x\to\infty$, הפונקציה שואפת לאינסוף, ולכן אין מקסימום מוחלט.
מתרגמים בעיה לפונקציה אחת
אם $x+2y=12$, אז $x=12-2y$. המכפלה היא:
$$P(y)=y(12-2y)=18-2(y-3)^2\le18.$$המקסימום מתקבל ב־$y=3$ וב־$x=6$. זהו חסם לכל זוג ממשי שמקיים את האילוץ. בבעיה עם אורכים או שטחים יש להוסיף גם תנאי חיוביות.
מבחן 07.10.15 שאלה 15
מקומי אינו מוחלט
מקסימום מקומי יכול להיות נמוך מערכים רחוקים. אין להסיק קיצון מוחלט רק ממעבר סימן של הנגזרת. קצה שאינו בתחום אינו מועמד, גם אם הגבול בו סופי.
בדיקה עצמית
מצאו את המקסימום והמינימום המוחלטים של $f(x)=x^2-|x|$ בקטע $[-1,1]$.
המינימום הוא $-1/4$, ומתקבל ב־$x=\pm1/2$. המקסימום הוא $0$, ומתקבל ב־$x=-1,0,1$. יש לבדוק גם את הפינה וגם את הקצוות.