נגזרת שנייה, פיתול ואסימפטוטות
מה מודדת הנגזרת השנייה
הנגזרת השנייה מודדת את השינוי בשיפוע. בפרק זה נקרא לגרף קמור כלפי מעלה כאשר $f''>0$, וקעור כלפי מטה כאשר $f''<0$. אלה סימני הבדיקה גם אם משתמשים בכינוי אחר לקמירות.
אם $f'(a)=0$ וגם $f''(a)>0$, יש מינימום מקומי. אם $f''(a)<0$, יש מקסימום מקומי. כאשר $f''(a)=0$, הבדיקה אינה מכריעה.
נקודת פיתול היא נקודה על הגרף שבה הקמירות משתנה. אפס של הנגזרת השנייה הוא מועמד בלבד. למשל, $x^4$ אינו משנה קמירות בראשית, ואילו $x^3$ כן משנה קמירות.
פיתול ויחס בין מקדמים
נתון $f(x)=ax^4-bx^3-cx^2-3x$ עם שתי נקודות פיתול ב־$x=1$ וב־$x=-1/3$. מצאו קשר הכרחי בין $a$ לבין $b$.
מבחן 28.03.24 שאלה 9
הנגזרת השנייה היא $12ax^2-6bx-2c$. שני שורשים שונים מחייבים $a\ne0$.
$$f''(x)=12a(x-1)\left(x+\frac13\right)=12ax^2-8ax-4a.$$השוואת המקדמים נותנת $6b=8a$ וגם $c=2a$. השורשים פשוטים, ולכן הנגזרת השנייה אכן מחליפה סימן בשניהם.
אסימפטוטות באמצעות גבולות
אסימפטוטה אנכית $x=a$ קיימת אם לפחות אחד הגבולות החד־צדדיים בנקודה הוא אינסופי. מכנה שמתאפס לבדו אינו מוכיח זאת.
אסימפטוטה אופקית $y=L$ מתקבלת כאשר $f(x)\to L$ באחד הכיוונים לאינסוף. אסימפטוטה משופעת $y=mx+b$ מקיימת:
$$\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-mx-b\bigr)=0.$$אפשר למצוא $m=\lim f(x)/x$ ואחר כך $b=\lim(f(x)-mx)$, כאשר שני הגבולות סופיים. יש לבדוק כל כיוון לאינסוף בנפרד.
חקירה מלאה של מנה פשוטה
חקרו את $f(x)=x+1/x$.
תרגיל מקורי
התחום הוא $x\ne0$. הפונקציה אי־זוגית ואין חיתוך עם הצירים, כי $x^2+1=0$ חסרת פתרון ממשי.
$$f'(x)=1-\frac1{x^2},\qquad f''(x)=\frac2{x^3}.$$הפונקציה עולה ב־$(-\infty,-1)$ וב־$(1,\infty)$, ויורדת ב־$(-1,0)$ וב־$(0,1)$. יש מקסימום מקומי $(-1,-2)$ ומינימום מקומי $(1,2)$.
הגרף קעור כלפי מטה כאשר $x<0$, וקמור כלפי מעלה כאשר $x>0$. אין נקודת פיתול: הראשית אינה בתחום. האסימפטוטה האנכית היא $x=0$, והמשופעת היא $y=x$, כי $1/x\to0$ בשני הכיוונים.
אין קיצון מוחלט בכל התחום, שכן הערכים אינם חסומים מלמעלה או מלמטה. נתונים אלה קובעים את שני ענפי הסרטוט.
חור אינו פיתול
שינוי בסימן הנגזרת השנייה מעבר לנקודה שאינה בתחום אינו נותן נקודת פיתול. גם בבדיקת קיצון באמצעות נגזרת שנייה חייבים לבדוק תחילה שהנגזרת הראשונה מתאפסת.
בדיקה עצמית
האם ל־$f(x)=x^4$ יש פיתול בראשית?
לא. מתקיים $f\prime\prime(x)=12x^2\ge0$ בשני הצדדים. יש מינימום בראשית, אך בדיקת הנגזרת השנייה בנקודה עצמה אינה מכריעה.