עמוד ראשי / נגזרות וחקירת פונקציות

נגזרות מסדר גבוה ומקדמי פולינום

סדר הנגזרת והמעלה

הסימון $f^{(n)}$ מציין גזירה חוזרת. הוא אינו חזקה של הפונקציה. נסמן $f^{(0)}=f$.

עבור מעלה שלמה אי־שלילית $k$ וסדר $n\le k$:

$$\frac{d^n}{dx^n}x^k=\frac{k!}{(k-n)!}x^{k-n}$$

עבור $n>k$ הנגזרת היא $0$.

לכן בפולינום שמסודר בחזקות סביב נקודה, רק מקדם אחד נשאר לאחר הצבה באותה נקודה:

$$f(x)=\sum_{k=0}^{d}c_k(x-a)^k\quad\Longrightarrow\quad f^{(n)}(a)=n!\,c_n$$

אם הסדר גדול ממעלת הפולינום, הנגזרת מתאפסת בכל התחום.

מקדם יחיד בנקודת האפס

נתון $f(x)=x^2-5x^6+ax^8-3x^{15}+10x^{25}$ וגם $f^{(8)}(0)=560$. מצאו את $a$.

מבחן 20.06.24 שאלה 15

נקודת ההצבה משנה את הבחירה

נתון $f(x)=10x-5x^4+ax^8-10x^9+x^{10}$ וגם $f^{(8)}(1)=0$. מצאו את $a$.

מבחן 22.08.24 שאלה 15

מרכזים סביב נקודת ההצבה

עבור $f(x)=(x+5)^6(x+4)^5$ נציב $h=x+5$. אז $f=h^6(h-1)^5$. מקדם $h^6$ הוא $-1$, ולכן $f^{(6)}(-5)=-6!=-720$.

מבחן 19.03.17 שאלה 15

אפשר גם להשתמש במעלות חסרות. אם $f(x)=(1+x^4)^3$, כל המעלות הן כפולות של ארבע. בנגזרת אין איבר ממעלה שש, כי במקור אין איבר ממעלה שבע.

מבחן 18.10.17 שאלה 2

אל תשכחו את העצרת

הנגזרת מסדר נתון בנקודת האפס אינה המקדם עצמו. יש לכפול בעצרת של הסדר. כלל המקדמים נכון לפולינום; אין להניח שכל פונקציה שווה לטור החזקות שלה.

בדיקה עצמית

אם $p(x)=3(x-2)^5+7(x-2)^6$, מהו $p^{(5)}(2)$?

תרגיל מקורי