מחזורי נגזרות ופונקציות מעריכיות
מזהים תבנית לפני שממשיכים
בפונקציות מעריכיות כל גזירה מכפילה בשיפוע הפנימי הקבוע. בסינוס ובקוסינוס יש מחזור של ארבע גזירות:
$$\begin{aligned}(e^{ax+b})^{(n)}&=a^ne^{ax+b},\\(\sin(ax+b))^{(n)}&=a^n\sin\left(ax+b+\frac{n\pi}{2}\right),\\(\cos(ax+b))^{(n)}&=a^n\cos\left(ax+b+\frac{n\pi}{2}\right),\\\left(\frac1{1+x}\right)^{(n)}&=\frac{(-1)^nn!}{(1+x)^{n+1}}.\end{aligned}$$בדקו את שתי הגזירות הראשונות כדי לקבוע סימן וגורם. במחזור טריגונומטרי מספיק לחשב את שארית הסדר בחלוקה לארבע.
מכפלה של נגזרות אי־זוגיות
עבור $f(x)=\sin(2x)$ חשבו את $f^{(1)}(0)f^{(3)}(0)\cdots f^{(19)}(0)$.
מבחן 28.03.24 שאלה 15
בסדרים האי־זוגיים מתקבל:
$$f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k2^{2k+1},\qquad0\le k\le9.$$יש חמישה גורמים שליליים. סכום המעריכים הוא $1+3+\cdots+19=100$. לכן המכפלה היא $-2^{100}$. אף גורם אינו אפס, כי כל הסדרים אי־זוגיים.
צמצום לפני חישוב מספרים גדולים
הגדירו $F_n(x)=(e^{8x})^{(n)}$ וגם $G_n(x)=((1+x)^{-1})^{(n)}$. חשבו את $G_{17}(1)F_6(1)$.
בחינה לדוגמה 2024 שאלה 22
החזקות מצטמצמות, ולכן המכפלה היא $-17!e^8$. הסימן שלילי משום שסדר הנגזרת במנה אי־זוגי.
נגזרת שנייה קבועה
כאשר $f''$ קבועה בכל הישר, הפונקציה היא מהצורה $Ax^2+Bx+C$. אם גם $f'(0)=0$, אז $B=0$.
בנתונים $f(-3)=0$ וגם $f(1)=8$, נקבל $9A+C=0$ ו־$A+C=8$. לכן $A=-1$, $C=9$, ומכאן $f(2)=5$. הצורה הריבועית מספיקה; אין צורך לשאת קבועי אינטגרציה נוספים.
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 11
סדר הנגזרת אינו המעריך החדש
הנגזרת של $e^{8x}$ מסדר נתון היא $8^ne^{8x}$. המעריך של הפונקציה המעריכית אינו משתנה. בנוסף, בסכום מהפונקציה עצמה עד הנגזרת מסדר עשרים יש עשרים ואחד איברים.
בדיקה עצמית
עבור $f(x)=e^{x/2}$ חשבו את $\sum_{k=0}^{20}f^{(k)}(0)$.
הערכים הם סדרה הנדסית $2^{-k}$. הסכום הוא $(1-2^{-21})/(1-1/2)=2-2^{-20}$.