נגזרת של פונקציה הפוכה
מתאימים נקודה לפני שהופכים שיפוע
נסמן $g=f^{-1}$. אם $f(a)=b$, אז $g(b)=a$. כאשר קיימת פונקציה הפוכה מקומית, והנגזרת מקיימת את תנאי המשפט ואינה אפס, מתקיים:
תנאי מספיק מוכר: הפונקציה גזירה ברציפות בסביבת הנקודה, וגם $f'(a)\ne 0$. כאשר השאלה נותנת הפיכות וגזירות של ההפוכה, גוזרים ישירות לפי כלל השרשרת את $g(f(x))=x$.
- מצאו קלט שעבורו ערך הפונקציה הוא הארגומנט המבוקש.
- חשבו את הנגזרת באותו קלט.
- הפכו את השיפוע. בדקו שהוא אינו אפס.
ערך פשוט במקום נוסחת הפוכה
נתונה $f(x)=2e^x+x^3+x$. חשבו את $(f^{-1})'(2)$.
מבחן 24.03.21 שאלה 19
נציב $x=0$ ונקבל $f(0)=2$. הנגזרת היא $f'(x)=2e^x+3x^2+1$, והיא חיובית לכל קלט.
הפונקציה רציפה ועולה ממש. גבולותיה בשני קצות הישר הם $-\infty$ ו־$\infty$, ולכן היא הפיכה על הישר.
אין צורך לפתור במפורש משוואה שמשלבת חזקה ופונקציה מעריכית.
נתונים נקודתיים בלבד
נתונה פונקציה גזירה והפיכה $f:(0,3)\to(0,3)$ עם $f(1)=2$ ו־$f'(1)=2$. איזה ערך של נגזרת ההפוכה נקבע?
מבחן 14.09.21 שאלה 4
על הגרף ההפוך הנקודה היא $(2,1)$. לכן $(f^{-1})'(2)=\frac{1}{2}$. מהנתונים אין מידע על השיפוע של ההפוכה בארגומנט $1$.
משיק לגרף ההפוך
משקפים את נקודת ההשקה ביחס לישר $y=x$ והופכים את השיפוע. לדוגמה, אם $f(1)=10$ וגם $f'(1)=3$, המשיק לגרף ההפוך בנקודה המתאימה הוא:
בנוסח הבחינה הנקודה נכתבה בסדר של הגרף המקורי. כאן משתמשים בנקודה המתאימה על הגרף ההפוך, $(10,1)$.
מבחן 30.06.17 שאלה 18
הפיכות אינה מבטיחה נגזרת סופית להפוכה
הפונקציה $x^3$ הפיכה, אך נגזרתה בראשית אפס. להפוכה $\sqrt[3]{x}$ אין נגזרת סופית בראשית. גם הסימון $f^{-1}$ אינו המנה $\frac{1}{f}$.
בדיקה עצמית
עבור $f(x)=x^3+x+1$, מהו $(f^{-1})'(3)$?
תרגיל מקורי
מתקיים $f(1)=3$ וגם $f'(1)=4$. לכן התשובה היא $\frac{1}{4}$. הנגזרת $3x^2+1$ חיובית, וגבולות הפונקציה מבטיחים הפיכות על הישר.