בניית דוגמאות ופתרון ברמת הבחינה
מתחילים מהתנאי המבוקש
בשאלת בנייה נדרשת דוגמה אחת שמקיימת את כל התנאים. אם נתונים קיצונים, התחילו מסימן הנגזרת. אם נתונות נגזרות בנקודה, התחילו מחזקות שמרוכזות באותה נקודה.
בטענה שצריכה להתקיים לכל פונקציה, דוגמה נגדית אחת מספיקה לפסילה. דוגמה שתומכת בטענה אינה הוכחה. נסו תחילה פונקציה קבועה, ישר, חזקה או פונקציה מעריכית, אם הם מקיימים את הנתונים.
בונים את הנגזרת תחילה
מצאו פונקציה שמקבלת מקסימום מקומי רק ב־$x=1$ ומינימום מקומי רק ב־$x=3$.
מבחן 03.09.15 שאלה 6
הנגזרת צריכה להיות חיובית, שלילית וחיובית בשלושת הקטעים. נבחר $f'(x)=(x-1)(x-3)$, ולכן אפשר לבחור:
$$f(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x.$$הנגזרת מתאפסת רק בשתי הנקודות הנתונות. סימניה מבטיחים את שני סוגי הקיצון, ואין נקודות נוספות שבהן הנגזרת אינה קיימת.
בונים אפסים של נגזרות
מצאו פונקציה עם $f(-3)=f'(-3)=f''(-3)=f^{(3)}(-3)=0$ ו־$f^{(4)}(-3)=240$.
מבחן 03.09.15 שאלה 3
נבחר $f(x)=A(x+3)^4$. שלוש הנגזרות הראשונות והפונקציה עצמה מתאפסות בנקודה הנתונה. הנגזרת הרביעית היא $24A$.
$$24A=240\quad\Longrightarrow\quad f(x)=10(x+3)^4.$$הבחירה מקיימת את כל חמשת התנאים.
דוגמה שאינה פולינום
אם נדרשים $f(0)=1$, $f'(0)=2$ ו־$f''(0)=3$, מתחילים ב־$1+2x+\frac32x^2$. כדי לקבל פונקציה שאינה פולינום מוסיפים איבר שנגזרותיו עד הסדר הדרוש מתאפסות:
$$f(x)=1+2x+\frac32x^2+\sin(x^3).$$הנגזרת הראשונה של האיבר הנוסף היא $3x^2\cos(x^3)$, והשנייה היא $6x\cos(x^3)-9x^4\sin(x^3)$. שתיהן מתאפסות בראשית.
מבחן 17.04.15 שאלה 9
סדר עבודה בשאלה חדשה
- זהו אם מבוקשים ערך, שיפוע, מספר קיצונים או טענה הכרחית.
- כתבו את תחום ההגדרה ואת תנאי ההפיכות או הגזירות שנדרשים.
- חפשו פישוט, מחזור, מקדם, סימטריה או ערך מיוחד.
- בצעו את החישוב הקצר המתאים.
- בדקו את התוצאה מול כל תנאי השאלה ומול האפשרויות.
אל תעבירו תנאים מפונקציה אחת לאחרת
מהיחס $f(x)\lt g(x)$ אין להסיק יחס בין הנגזרות. למשל, $f(x)=\arctan x$ ו־$g(x)=3$ מקיימות $f\lt g$ בכל הישר, אך $f'\gt g'$ בכל הישר. יש לבדוק כל טענה בנפרד.
בדיקה עצמית
בנו פונקציה לא קבועה עם $f(3)=10$ ו־$f^{(n)}(3)=0$ עבור $n=1,2,3$.
אפשר לבחור $f(x)=10+(x-3)^4$. הגזירות משאירות חזקה חיובית עד הסדר השלישי. הפונקציה אינה קבועה.