שיטות וקיצורי דרך בנגזרות
בחרו שיטה לפי מבנה השאלה. בכל דוגמה מוצגים חישוב מלא וקיצור, עם תנאי השימוש. קיצור תקף חייב לכסות את כל תנאי השאלה.
מקדם יחיד במקום שמונה גזירות
בפולינום בנקודת האפס, או לאחר כתיבה בחזקות סביב נקודת ההצבה.
נתון $f(x)=x^2-5x^6+ax^8-3x^{15}+10x^{25}$ ו־$f^{(8)}(0)=560$. מצאו את $a$.
מבחן 20.06.24 שאלה 15
החישוב המלא
בגזירה איבר־איבר מתקבל $f^{(8)}(x)=8!a-3\frac{15!}{7!}x^7+10\frac{25!}{17!}x^{17}$. הצבה באפס משאירה $8!a=560$, ולכן $a=1/72$.
הדרך המקוצרת
רק מקדם $x^8$ יכול לתרום. מיד נכתוב $a=560/8!=1/72$. אין צורך לחשב את המקדמים של החזקות הגבוהות. בנקודה שאינה אפס אין למחוק אותן: במבחן 22.08.24 שאלה 15 נשאר $a-90+45=0$, ולכן $a=45$.
מרכזים את הפולינום סביב הנקודה
כאשר מופיע גורם שהוא חזקה של ההפרש מנקודת ההצבה.
ל־$f(x)=(x+5)^6(x+4)^5$ חשבו את $f^{(6)}(-5)$.
מבחן 19.03.17 שאלה 15
החישוב המלא
כלל לייבניץ נותן $\sum_{j=0}^6\binom6j((x+5)^6)^{(j)}((x+4)^5)^{(6-j)}$. בהצבה כל האיברים עם $j<6$ מתאפסים. נשאר $6!(-1)^5=-720$.
הדרך המקוצרת
נסמן $h=x+5$. מתקבל $h^6(h-1)^5$, ומקדם $h^6$ הוא $-1$. לכן הנגזרת היא $-6!=-720$. יש לחפש את המקדם סביב הנקודה המבוקשת, ולא סביב הראשית.
מחזור וסימן לפני חזקות גדולות
בסינוס או בקוסינוס עם פונקציה פנימית לינארית.
ל־$f(x)=\sin(2x)$ חשבו את $f\prime(0)f^{(3)}(0)\cdots f^{(19)}(0)$.
מבחן 28.03.24 שאלה 15
החישוב המלא
גוזרים ברצף ומקבלים בנקודת האפס $2,-2^3,2^5,-2^7,\ldots,-2^{19}$. כפל עשרת המספרים נותן $-2^{100}$.
הדרך המקוצרת
הסימן הוא $(-1)^{0+1+\cdots+9}=-1$. המעריך הוא סכום עשרה מספרים אי־זוגיים, $10^2=100$. מכאן $-2^{100}$. בסדר זוגי יופיע כאן אפס, ולכן יש לבדוק את הסדרים תחילה.
מצמצמים נגזרות מעריכיות ועצרות
כאשר יש מכפלה או מנה של נגזרות מוכרות באותה נקודה.
$F_n(x)=(e^{8x})^{(n)}$, $G_n(x)=((1+x)^{-1})^{(n)}$. חשבו $G_{17}(1)F_6(1)$.
בחינה לדוגמה 2024 שאלה 22
החישוב המלא
גזירות חוזרות נותנות $F_6(x)=8^6e^{8x}$ וגם $G_{17}(x)=-17!(1+x)^{-18}$. ההצבה נותנת $-17!8^6e^8/2^{18}$.
הדרך המקוצרת
שומרים את החזקות כמכפלות: $8^6=2^{18}$. לכן הן מצטמצמות מיד ונשאר $-17!e^8$. לא מחשבים את העצרת. בדיקה של שתי נגזרות ראשונות קובעת את התבנית ואת הסימן.
תחום ההגדרה פוסל קיצון מדומה
בשורש, בלוגריתם או במנה. הפסילה מקצרת את רשימת המועמדים, אך יש לסווג את מה שנשאר.
קבעו את הקיצונים של $f(x)=x+\ln(3-x^2)$ בתחום המרבי.
מבחן 22.08.24 שאלה 9
החישוב המלא
מחשבים $f'=-(x+3)(x-1)/(3-x^2)$ ומקבלים שני שורשים אלגבריים. לאחר מכן בונים טבלה בתחום $(-\sqrt3,\sqrt3)$. הנגזרת חיובית עד $1$ ושלילית אחריו. לכן יש מקסימום מקומי יחיד.
הדרך המקוצרת
כותבים את התחום תחילה. האפשרויות שמייחסות קיצון ל־$x=-3$ נפסלות מיד. עבור $x=1$ המונה אכן מתאפס. בתחום, המכנה ו־$x+3$ חיוביים, ולכן סימן הנגזרת הוא הפוך מסימן $x-1$. התוצאה היא מקסימום יחיד ב־$x=1$.
מפרקים זהות לפני כלל המנה
כאשר מונה ומכנה כוללים גורם משותף. שומרים את התחום המקורי.
$f(x)=\frac{\cos x-2\cos^3x}{\sin^5x-\sin x\cos^4x}$. חשבו את $f\prime(\pi/3)$.
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 12
החישוב המלא
נסמן מונה $N$ ומכנה $D$. בנקודה מתקבלים $N=1/4$, $N'=\sqrt3/4$, $D=\sqrt3/4$, $D'=7/4$. לפי כלל המנה $(N'D-ND')/D^2=(3/16-7/16)/(3/16)=-4/3$.
הדרך המקוצרת
המונה הוא $\cos x(\sin^2x-\cos^2x)$. המכנה הוא $\sin x(\sin^2x-\cos^2x)(\sin^2x+\cos^2x)$. בסביבת הנקודה הגורם המשותף אינו אפס, ולכן $f=\cot x$. מכאן $f'=-1/\sin^2x=-4/3$ בנקודה. הצמצום אינו מחזיר נקודות שנפסלו בתחום המקורי.
ריבוע או גורם חיובי קובעים את הסימן
כאשר אפשר לפרק את הנגזרת. אפס בודד אינו מחייב קיצון.
איזו תכונת עלייה מתקיימת עבור $f(x)=e^{2x}-4e^x+2x+7$?
מבחן 05.06.20 שאלה 5
החישוב המלא
פותרים $2e^{2x}-4e^x+2=0$ בעזרת $t=e^x$, ומקבלים $t=1$, כלומר $x=0$. בבדיקת סימנים בשני הצדדים מתקבלת נגזרת חיובית, ולכן אין קיצון שם והפונקציה עולה בכל הישר.
הדרך המקוצרת
מזהים מיד $f'(x)=2(e^x-1)^2\ge0$. השוויון מתקיים רק בראשית, ולכן הפונקציה עולה ממש. הטענות על קיצון בראשית נפסלות. גם קמירות אחידה נפסלת, כי $f''=4e^x(e^x-1)$ מחליפה סימן.
ערך מיוחד במקום פתרון להפוכה
כאשר מבוקשת נגזרת הפוכה בנקודה אחת. חובה לוודא שהשיפוע המקורי אינו אפס.
ל־$f(x)=x^3+x+1$ חשבו את $(f^{-1})\prime(3)$.
מבחן 28.05.19 שאלה 12
החישוב המלא
פותרים $a^3+a+1=3$. הפירוק $(a-1)(a^2+a+2)=0$ נותן $a=1$ בלבד, כי לריבועי אין שורשים ממשיים. גזירה נותנת $f'(1)=4$, ולכן נגזרת ההפוכה היא $1/4$.
הדרך המקוצרת
מנסים את הקלט הקטן $a=1$ ומקבלים מיד $f(1)=3$. לכן $(f^{-1})'(3)=1/(3\cdot1^2+1)=1/4$. הנגזרת המקורית חיובית בכל הישר והפונקציה רציפה עם גבולות אינסופיים מנוגדים, ולכן ההפוכה קיימת.
שיפוע ונקודה לבדיקת אפשרויות
בשאלת משיק עם ישר מקביל או נקודת חיתוך מוצעת. נקודה על הישר החותך לבדה אינה מספיקה.
ל־$f(x)=x^2-2x$ משיק שמקביל ל־$y=4x-3$. איזו נקודה היא חיתוכו עם $y=x/2-2$: $(2,-1)$, $(0,-2)$, $(4,0)$ או $(6,1)$?
בחינה לדוגמה 2024 שאלה 2
החישוב המלא
פותרים $f'(a)=2a-2=4$, ולכן $a=3$ ו־$f(a)=3$. המשיק הוא $y=4x-9$. השוואתו לישר החותך נותנת $x=2$ ו־$y=-1$.
הדרך המקוצרת
לאחר קביעת השיפוע, חיתוך המשיק עם הציר הוא $b=f(3)-4\cdot3=-9$. באפשרויות מחשבים $y-4x$: מתקבלים $-9,-2,-16,-23$. רק הראשונה מתאימה למשיק, והיא גם מקיימת $y=x/2-2$. כך נחסכת משוואת חיתוך.
משקפים משיק של פונקציה זוגית
כאשר הפונקציה זוגית וגזירה. הנקודות צריכות להיות שתיהן בתחום.
המשיק לפונקציה זוגית בנקודה $x=a$ הוא $y=3x-2$. מצאו את המשיק ב־$x=-a$.
מבחן 18.10.18 שאלה 20
החישוב המלא
נתון $f'(a)=3$ ו־$f(a)=3a-2$. מזוגיות נקבל $f(-a)=3a-2$ וגם $f'(-a)=-3$. לכן $y-(3a-2)=-3(x+a)$, כלומר $y=-3x-2$.
הדרך המקוצרת
משקפים את הישר ביחס לציר האנכי: מחליפים $x$ ב־$-x$. מתקבל $y=-3x-2$. החיתוך עם הציר האנכי נשמר והשיפוע מחליף סימן. הכלל אינו מתאים לפונקציה שאין לה זוגיות.
מציבים לפני שמחשבים איברים בנפרד
בהרכבה שבה הנקודה עוברת לעצמה ושיפוע המפה הפנימית הוא אחד.
נתון $f\prime(x)=\sqrt{x^2+1}$ ו־$g(x)=f(x)-f(\ln x+1)$. חשבו $g\prime(1)$.
מבחן 30.08.18 שאלה 1
החישוב המלא
כלל השרשרת נותן $g'(x)=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{(\ln x+1)^2+1}/x$. בהצבה מתקבל $\sqrt2-\sqrt2=0$.
הדרך המקוצרת
כותבים רק $g'(1)=f'(1)-f'(1)\cdot1=0$. הנוסחה המסוימת של הנגזרת אינה דרושה. הביטול תקף כי $\ln1+1=1$ וגם נגזרת הביטוי הפנימי בנקודה היא $1$.
בונים את השינוי לפני בניית הפונקציה
כאשר נדרשת דוגמה עם קיצונים במקומות קבועים.
בנו פונקציה שמקבלת מקסימום מקומי רק ב־$1$ ומינימום מקומי רק ב־$3$.
מבחן 03.09.15 שאלה 6
החישוב המלא
ננסה $f(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D$. התנאים $f'(1)=f'(3)=0$ נותנים $3A+2B+C=0$ ו־$27A+6B+C=0$. לכן $B=-6A$, $C=9A$. בוחרים $A=1/3$, $D=0$ ובודקים סימנים.
הדרך המקוצרת
בוחרים ישר את הנגזרת $f'(x)=(x-1)(x-3)$, שסימניה חיובי, שלילי וחיובי. מכאן $f=x^3/3-2x^2+3x$. אלה אפסי הנגזרת היחידים, ולכן מתקיימת גם הדרישה שאין קיצונים נוספים.
חסם שמתקבל חוסך טבלת סימנים
כאשר מבוקשת נקודת מקסימום אחת, או כאשר אפשר להוכיח חסם ולמצוא שוויון.
מצאו נקודת מקסימום מקומי של $f(x)=\cos(x^2-2x+1)$.
מבחן 28.05.19 שאלה 11
החישוב המלא
הנגזרת היא $-2(x-1)\sin((x-1)^2)$. בסביבה קטנה של $1$ הסינוס חיובי מחוץ לנקודה. לכן הנגזרת חיובית משמאל ושלילית מימין. ערך הפונקציה בנקודה הוא $1$.
הדרך המקוצרת
לכל קלט מתקיים $\cos((x-1)^2)\le1$. ב־$x=1$ הארגומנט הוא $0$, ולכן החסם מתקבל. הנקודה $(1,1)$ היא מקסימום מוחלט וגם מקומי. אין צורך למצוא את שאר הקיצונים, כי נשאלה דוגמה אחת.
הפרש ערכים מבטל קבוע לא ידוע
כאשר נתונה נגזרת ומבקשים הפרש בין ערכי הפונקציה.
נתון $f\prime(x)=6x^2-18x+12$ וערך המינימום המקומי הוא $9$. מצאו את ערך המקסימום המקומי.
מבחן 05.06.20 שאלה 20
החישוב המלא
הנגזרת היא $6(x-1)(x-2)$, ולכן המקסימום ב־$1$ והמינימום ב־$2$. אינטגרציה נותנת $f=2x^3-9x^2+12x+C$. מהתנאי $f(2)=9$ מתקבל $C=5$, ואז $f(1)=10$.
הדרך המקוצרת
אין צורך בקבוע: $f(2)-f(1)=\int_1^2f'(x)\,dx=[2x^3-9x^2+12x]_1^2=-1$. לכן $f(1)=9+1=10$. יש לקבוע תחילה איזו נקודה היא המינימום, כדי לא להפוך את סימן ההפרש.
בודקים היכן הפרמטר מוריד מעלה
לפני שימוש בדיסקרימיננטה של נגזרת ריבועית.
לאילו ערכי $a$ יש ל־$f(x)=e^{ax}/(1+x^2)$ גם מינימום וגם מקסימום מקומיים?
מבחן 27.01.22 שאלה 9
החישוב המלא
מחשבים $f'=e^{ax}(ax^2-2x+a)/(1+x^2)^2$. עבור $a\ne0$ יש שני שורשים פשוטים בדיוק כאשר $4-4a^2>0$. בכל שורש פשוט הסימן משתנה. בודקים בנפרד את $a=0$ ואת $a=\pm1$.
הדרך המקוצרת
הצבת $a=0$ נותנת $1/(1+x^2)$, שיש לה רק מקסימום. לכן האפשרות $(-1,1)$ נפסלת אף שהדיסקרימיננטה חיובית בה. נשאר לקבוע שני שורשים פשוטים עבור $0<|a|<1$. התשובה היא $(-1,0)\cup(0,1)$; בקצוות יש שורש כפול ללא קיצון.
נגזרת שנייה קבועה קובעת צורה ריבועית
כאשר התנאי מתקיים בכל התחום, ולא בנקודה יחידה.
$f\prime\prime$ קבועה, $f\prime(0)=0$, $f(-3)=0$ ו־$f(1)=8$. חשבו $f(2)$.
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 11
החישוב המלא
נסמן $f''=c$. שתי אינטגרציות נותנות $f=cx^2/2+dx+k$. מהנגזרת בראשית $d=0$. פתרון $9c/2+k=0$ ו־$c/2+k=8$ נותן $c=-2$, $k=9$, ולכן $f(2)=5$.
הדרך המקוצרת
כותבים מיד $f=Ax^2+C$, ללא איבר לינארי. ההפרש $f(1)-f(-3)=-8A=8$ נותן $A=-1$. לכן $f(2)=f(1)+A(4-1)=8-3=5$, בלי לחשב את האיבר החופשי.
וייטה על הנגזרת השנייה
כאשר ידועים שני שורשי נגזרת ריבועית ומבקשים יחס מקדמים.
ל־$f(x)=ax^4-bx^3-cx^2-3x$ יש פיתול ב־$1$ וב־$-1/3$. איזה קשר הכרחי מתקיים?
מבחן 28.03.24 שאלה 9
החישוב המלא
מציבים ב־$f''=12ax^2-6bx-2c$: מתקבלות $12a-6b-2c=0$ ו־$4a/3+2b-2c=0$. חיסור נותן $32a/3-8b=0$, ולכן $6b=8a$.
הדרך המקוצרת
סכום שורשי הנגזרת השנייה הוא $1-1/3=2/3$. לפי וייטה הוא גם $6b/(12a)=b/(2a)$. לכן $6b=8a$. שתי נקודות הפיתול מחייבות $a\ne0$, כך שהחלוקה מותרת. אין צורך לחשב את $c$.
מחליפים שורש ומזהים ריבוע
כאשר חזקות חצי־שלמות הופכות לפולינום במשתנה לא שלילי.
קבעו כמה פעמים מתקבל המינימום המוחלט של $f(x)=\sqrt{x^3}-6x+9\sqrt x-36$.
מבחן 20.06.24 שאלה 9
החישוב המלא
בתחום $x>0$ מתקבל $f'=\frac32\sqrt x-6+\frac9{2\sqrt x}$. האפסים הם $x=1,9$. משווים גם את הקצה: $f(0)=-36$, $f(1)=-32$, $f(9)=-36$. עם הגבול באינסוף מתקבל מינימום בשתי נקודות.
הדרך המקוצרת
נציב $t=\sqrt x\ge0$. אז $f+36=t(t-3)^2\ge0$. שוויון מתקבל בדיוק ב־$t=0,3$, כלומר $x=0,9$. כך מוכיחים גם את החסם וגם את כל נקודות השוויון, בלי לגזור ובלי לפספס את הקצה.
שיפוע מקטע כקירוב לנגזרת
כאשר ניתנו ערכים קרובים משני צדי הנקודה ונדרש קירוב בלבד.
נתון $f(2.9)=9.8$ ו־$f(3.1)=10.4$. קרבו את $f\prime(3)$.
מבחן 02.11.16 שאלה 1
החישוב המלא
בוחרים קירוב לינארי $f(x)\approx mx+b$. פותרים $2.9m+b=9.8$ ו־$3.1m+b=10.4$. מתקבלים $m=3$ ו־$b=1.1$, ולכן קירוב הנגזרת הוא $3$.
הדרך המקוצרת
מחשבים רק שיפוע: $(10.4-9.8)/(3.1-2.9)=0.6/0.2=3$. זהו אותו קירוב, בלי מציאת האיבר החופשי. אין לכתוב שוויון מדויק: שני הנתונים אינם קובעים את הנגזרת בנקודת האמצע.