תחום, קבוצת יעד ותמונה
בסימון $f:A\to B$, הקבוצה $A$ היא תחום ההגדרה והקבוצה $B$ היא קבוצת היעד. לכל קלט בתחום יש פלט יחיד בקבוצת היעד.
התמונה היא קבוצת הפלטים שמתקבלים בפועל:
$$f(A)=\{f(x):x\in A\}.$$כדי לבדוק תכונה של פונקציה, יש לקרוא גם את התחום ואת קבוצת היעד. הנוסחה לבדה אינה מספיקה.
סימטריה והתנהגות בקצות הגרף
תחום סימטרי ביחס לאפס מכיל את $-x$ לכל $x$ שהוא מכיל. בתחום כזה מגדירים:
- פונקציה זוגית מקיימת $f(-x)=f(x)$. הגרף שלה סימטרי ביחס לציר $y$.
- פונקציה אי־זוגית מקיימת $f(-x)=-f(x)$. הגרף שלה סימטרי ביחס לראשית הצירים.
כדי לבדוק סימטריה באמצעות נוסחה, מציבים $-x$ ומפשטים.
בזיהוי גרף בדקו גם את ההתנהגות בשני הקצוות: מה קורה לערכי הפונקציה כאשר $x\to+\infty$, ומה קורה כאשר $x\to-\infty$. התאמה בקצה אחד אינה מספיקה.
זיהוי לפי סימטריה ודעיכה
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 7
בגרף הנתון בשאלה יש סימטריה אי־זוגית, בליטה אחת בכל צד ושאיפה לאפס בשני הקצוות. איזו פונקציה מתאימה?
- אפשרות א: $y=xe^{-x^2}$.
- אפשרות ב: $y=x\sin x$.
- אפשרות ג: $y=3x-2x^3$.
- אפשרות ד: $y=xe^x$.
אפשרות ב זוגית, כי $(-x)\sin(-x)=x\sin x$. היא גם אינה שואפת לאפס בקצוות: ערכיה מתנודדים ומגיעים לגדלים מוחלטים הולכים וגדלים.
באפשרות ג האיבר ממעלה שלישית קובע את ההתנהגות בקצוות:
$$\lim_{x\to+\infty}(3x-2x^3)=-\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}(3x-2x^3)=+\infty.$$באפשרות ד מתקיים $\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$, אך $\lim_{x\to+\infty}xe^x=+\infty$.
באפשרות א הגורם $e^{-x^2}$ זוגי, ולכן:
$$(-x)e^{-(-x)^2}=-xe^{-x^2}.$$כמו כן, $\lim_{x\to\pm\infty}xe^{-x^2}=0$. הפונקציה חיובית מימין לאפס ושלילית משמאלו. לכן היא מתאימה לתכונות הגרף, והתשובה היא א.
בדיקה קצרה: הצבה של קלט נגדי
תרגיל מקורי. נתונה $p(x)=x^2+x$ על $\mathbb{R}$. האם היא זוגית או אי־זוגית?
מתקיים $p(-x)=x^2-x$. הביטוי אינו זהה ל־$p(x)$ וגם אינו זהה ל־$-p(x)$. לכן הפונקציה אינה זוגית ואינה אי־זוגית.
חד־חד־ערכיות ועל
פונקציה היא חד־חד־ערכית אם קלטים שונים נותנים פלטים שונים. תנאי שקול הוא:
$$f(x_1)=f(x_2)\ \Longrightarrow\ x_1=x_2.$$בגרף של פונקציה ממשית, כל ישר אופקי חותך גרף חד־חד־ערכי לכל היותר פעם אחת.
פונקציה $f:A\to B$ היא על אם לכל $b\in B$ קיים $a\in A$ כך ש־$f(a)=b$. כלומר, $f(A)=B$.
פונקציה היא הפיכה אם היא חד־חד־ערכית ועל קבוצת היעד שלה.
להוכחת חד־חד־ערכיות מתחילים משוויון פלטים. להפרכת על מספיק למצוא ערך אחד בקבוצת היעד שאינו מתקבל.
נוסחה אחת, שתי בדיקות
מבחן 22.10.19 שאלה 2
תנו דוגמה לפונקציה $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ שהיא חד־חד־ערכית ואינה על.
נגדיר $f(n)=2n$. כל מספר טבעי נשלח למספר טבעי, ולכן הפונקציה מוגדרת כנדרש.
אם $f(n_1)=f(n_2)$, אז $2n_1=2n_2$, ומכאן $n_1=n_2$. לכן הפונקציה חד־חד־ערכית.
המספר $3$ נמצא בקבוצת היעד, אך המשוואה $2n=3$ אינה מתקיימת עבור שום $n\in\mathbb{N}$. לכן הפונקציה אינה על. שתי הדרישות מתקיימות.
בדיקה קצרה: קבוצת היעד קובעת
תרגיל מקורי. האם $q:\mathbb{R}\to[0,\infty)$, המוגדרת על ידי $q(x)=x^2$, היא חד־חד־ערכית? האם היא על?
היא אינה חד־חד־ערכית, כי $q(1)=q(-1)=1$. היא על קבוצת היעד: לכל $b\ge0$ אפשר לבחור $x=\sqrt{b}$, ואז $q(x)=b$.
טענה כללית ודוגמה נגדית
פונקציה עולה אם לכל $x_1<x_2$ בתחום מתקיים $f(x_1)\le f(x_2)$. היא עולה ממש אם מתקיים האי־שוויון החזק $f(x_1)<f(x_2)$.
טענה שנכונה בהכרח דורשת הוכחה לכל הפונקציות שמקיימות את ההנחות. כדי להפריך אותה, מספיקה דוגמה אחת שמקיימת את ההנחות אך אינה מקיימת את המסקנה.
אילו תכונות נשמרות בחיבור ובכפל?
מבחן 22.08.24 שאלה 13
נתונות $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. בחרו את הטענה הנכונה בהכרח.
- א: אם שתיהן חד־חד־ערכיות, גם $f+g$ חד־חד־ערכית.
- ב: אם שתיהן על, גם $f+g$ על.
- ג: אם שתיהן הפיכות, גם $f+g$ הפיכה.
- ד: אם שתיהן עולות, גם $f+g$ עולה.
- ה: אם שתיהן עולות, גם $fg$ עולה.
הערת מקור: סדר האפשרויות בפתרון הרשמי שונה מסדרן בשאלון. כאן אותיות התשובות נקבעות לפי השאלון. המונח ״עולה״ משמש במובן הלא־מחמיר, בהתאם להוכחה הרשמית.
לבחינת האפשרויות א, ב וג נבחר $f(x)=x$ ו־$g(x)=-x$. כל אחת מהן חד־חד־ערכית, על והפיכה על $\mathbb{R}$.
אבל סכומן הוא הפונקציה הקבועה $f(x)+g(x)=0$. קלטים שונים נותנים אותו פלט, והתמונה היא $\{0\}$. לכן הסכום אינו חד־חד־ערכי, אינו על $\mathbb{R}$ ואינו הפיך. שלוש האפשרויות נפסלות.
לבחינת אפשרות ה נבחר $f(x)=g(x)=x$. שתיהן עולות, אך המכפלה היא $x^2$. למשל, $-2<-1$ ואילו $(-2)^2>(-1)^2$. לכן המכפלה אינה עולה.
להוכחת אפשרות ד ניקח קלטים כלשהם $x_1<x_2$. מן ההנחות:
$$f(x_1)\le f(x_2),\qquad g(x_1)\le g(x_2).$$חיבור האי־שוויונות נותן:
$$f(x_1)+g(x_1)\le f(x_2)+g(x_2).$$זהו התנאי לעלייה של הסכום בכל התחום. לכן התשובה היא ד.
דוגמה תומכת אינה הוכחה
גם אם טענה מתקיימת עבור כמה פונקציות שבחרתם, ייתכן שהיא נכשלת עבור פונקציה אחרת. לאחר שבדקתם דוגמאות, חזרו להגדרה ונסו להוכיח את הטענה עבור קלטים כלליים.
הצבה במשוואה פונקציונלית
משוואה פונקציונלית מתארת קשר בין ערכים של פונקציה. בחרו הצבה שיוצרת את הערכים שבשאלה. לעיתים אפשר לחשב את המבוקש בלי למצוא נוסחה לפונקציה.
קשר בין ערכים עוקבים
מבחן 24.06.21 שאלה 11
נתונה פונקציה המקיימת $f(x+y)=f(x)f(y)$ וכן $f(1)=20$. חשבו:
$$\frac{f(1)}{f(2)}+\frac{f(2)}{f(3)}+\cdots+\frac{f(2020)}{f(2021)}.$$נציב $x=n$ ו־$y=1$:
$$f(n+1)=f(n)f(1)=20f(n).$$מאחר ש־$f(1)=20$, הפעלה חוזרת של הקשר מראה שכל הערכים במכנים חיוביים. לכן מותר לחלק, ולכל איבר בסכום מתקיים:
$$\frac{f(n)}{f(n+1)}=\frac{f(n)}{20f(n)}=\frac1{20}.$$יש $2020$ איברים, ולכן הסכום הוא:
$$2020\cdot\frac1{20}=101.$$התשובה היא ב. החישוב משתמש בקשר הנתון ומוודא שכל המנות מוגדרות.
בדיקה קצרה: בחירת הצבה
תרגיל מקורי. נתונה $u:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ המקיימת $u(x+y)=u(x)u(y)$ וכן $u(1)=5$. מצאו את $u(0)$.
נציב $x=1$ ו־$y=0$. נקבל $5=5u(0)$, ולכן $u(0)=1$.