תחום הגדרה: תנאים וחיתוך תחומים

תנאי השורש הוא $x\geq-2$. תנאי הלוגריתם הוא $x<3$. לכן:

$$D=[-2,3).$$

בקצה השמאלי השורש שווה לאפס והלוגריתם מוגדר. בקצה הימני ארגומנט הלוגריתם שווה לאפס, ולכן הקצה אינו כלול.

תחילה נדרוש ארגומנט חיובי בלוגריתם:

$$3+2x-x^2=-(x+1)(x-3)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad -1<x<3.$$

השורש נמצא במכנה. לכן נדרוש:

$$\sin(\pi x)>0.$$

בתוך הקטע שמצאנו, הסינוס חיובי בקטעים $(0,1)$ ו־$(2,3)$. הוא שלילי בקטעים $(-1,0)$ ו־$(1,2)$, ומתאפס בנקודות השלמות.

$$D=(0,1)\cup(2,3).$$

בכל נקודה בתחום זה ארגומנט הלוגריתם חיובי והמכנה מוגדר ושונה מאפס. יתר הנקודות מפרות לפחות אחד מהתנאים.

תנאי הלוגריתם הוא:

$$x-x^2=x(1-x)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 0<x<1.$$

עבור השורש נדרוש שהטנגנס יהיה מוגדר ואי־שלילי. בכל מחזור מתקיים:

$$k\pi\leq 4x<k\pi+\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb{Z}.$$

לאחר חלוקה נקבל:

$$\frac{k\pi}{4}\leq x<\frac{k\pi}{4}+\frac{\pi}{8}.$$

בחיתוך עם $(0,1)$ נשארים שני קטעים:

$$D=\left(0,\frac{\pi}{8}\right)\cup\left[\frac{\pi}{4},1\right).$$

הנקודה $x=\frac{\pi}{8}$ אסורה כי הטנגנס אינו מוגדר בה. הנקודה $x=\frac{\pi}{4}$ מותרת כי $\tan(\pi)=0$ וארגומנט הלוגריתם חיובי. הנקודות $x=0$ ו־$x=1$ אסורות בגלל הלוגריתם. כך מתקיימים כל התנאים בדיוק בתחום שנמצא.

שתי הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות דורשות $-1\leq x\leq1$. בנוסף, $\arccos(1)=0$, ולכן נותר התחום הראשוני $[-1,1)$.

בתחום זה $\arccos x>0$. לכן אפשר לכפול בו את תנאי הלוגריתם בלי לשנות את כיוון אי־השוויון:

$$\frac{\arcsin x}{\arccos x}+\frac12>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2\arcsin x+\arccos x>0.$$

כמו בפתרון הרשמי, נגדיר:

$$g(x)=2\arcsin x+\arccos x.$$

בקטע הפתוח מתקיים:

$$g'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}>0.$$

הפונקציה רציפה גם בקצה השמאלי, ושם:

$$g(-1)=2\left(-\frac{\pi}{2}\right)+\pi=0.$$

לכן $g(x)>0$ לכל $-1<x<1$. בנקודה $x=-1$ ארגומנט הלוגריתם שווה לאפס. בנקודה $x=1$ המכנה שווה לאפס. מכאן:

$$D=(-1,1).$$

בתמליל הפתרון מופיע בטעות $g(-1)>0$. החישוב נותן $g(-1)=0$. הפתרון כאן משתמש בשוויון זה.

בכל נקודה בקטע הפתוח שתי הפונקציות מוגדרות, המכנה חיובי וארגומנט הלוגריתם חיובי. לכן אין הגבלות נוספות.

$$D=[-1,1).$$

הארק־קוסינוס מוגדר ב־$[-1,1]$ ומתאפס רק ב־$x=1$. בקצה האחר מתקיים $\arccos(-1)=\pi\ne0$, ולכן הוא כלול.

מתנאי הארק־קוסינוס נקבל:

$$-1\leq\frac{x^2}{25}\leq1 \quad\Longleftrightarrow\quad -5\leq x\leq5.$$

בתוך הקטע $(-5,5)$ המונה חיובי. לכן המנה שמתחת לשורש אי־שלילית רק כאשר המכנה חיובי:

$$\ln(2^{3x-8}-1)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2^{3x-8}-1>1 \quad\Longleftrightarrow\quad x>3.$$

תנאי זה מבטיח גם שהלוגריתם מוגדר והמכנה אינו אפס. לכן מתוך הקטע הפתוח נשאר $(3,5)$.

כעת נבדוק בנפרד את הנקודות שבהן המונה מתאפס. בנקודה $x=-5$ ארגומנט הלוגריתם הוא $2^{-23}-1<0$, ולכן הביטוי אינו מוגדר. בנקודה $x=5$ המונה שווה לאפס והמכנה הוא $\ln(127)>0$, ולכן השורש מוגדר ושווה לאפס.

$$D=(3,5].$$

בתמליל הפתרון מופיעים סימני אי־שוויון חדים בתנאי הארק־קוסינוס. נשתמש בתנאי הכולל שוויון, בהתאם להגדרת הפונקציה. כמו כן, אפס במונה אינו מחייב מכנה חיובי; לכן בדקנו את שתי נקודות האפס בנפרד.

הבדיקה מכסה את פנים הקטע ואת קצותיו. כל ערך מחוץ לקטע שנמצא מפר לפחות תנאי הגדרה אחד.

הלוגריתם דורש $x+2>0$. המכנה דורש $\ln(x+2)\ne0$, כלומר $x+2\ne1$. לכן:

$$D=(-2,-1)\cup(-1,\infty).$$

בכל נקודה בתחום זה הלוגריתם מוגדר ושונה מאפס. מותר לו להיות גם שלילי, כי אין כאן שורש של המנה.