תחום הגדרה: ערך מוחלט ובסיס משתנה

הביטוי בתוך השורש צריך להיות אי־שלילי:

$$|1-x|\ge|x+2|.$$

שני האגפים אי־שליליים. לכן נקבל תנאי שקול בהעלאה בריבוע:

$$(1-x)^2\ge(x+2)^2 \iff 1-2x+x^2\ge x^2+4x+4 \iff x\le-\frac12.$$

אפשר לפרש את התנאי גם בעזרת מרחקים. המרחק מן הנקודה $1$ צריך להיות גדול מן המרחק מן הנקודה $-2$, או שווה לו. נקודת האמצע היא $-\frac12$.

בנקודת השוויון השורש שווה לאפס, ולכן הנקודה כלולה. כל השלבים שקולים, ואין מגבלות נוספות. התחום הוא:

$$D_f=\left(-\infty,-\frac12\right].$$

הקלט של הפונקציה במונה צריך לקיים:

$$-1\le x^2-1\le1 \iff 0\le x^2\le2 \iff -\sqrt2\le x\le\sqrt2.$$

השורש נמצא במכנה. לכן הביטוי שבתוכו צריך להיות חיובי ממש:

$$|x+2|-|x|>0.$$

נפרק לפי נקודות האפס של הביטויים בתוך הערכים המוחלטים:

• כאשר $x<-2$, ההפרש הוא $-x-2-(-x)=-2$. אין פתרונות בקטע זה.
• כאשר $-2\le x<0$, ההפרש הוא $x+2-(-x)=2x+2$. התנאי מתקיים כאשר $-1<x<0$.
• כאשר $x\ge0$, ההפרש הוא $x+2-x=2$. כל הקטע מתאים.

לכן תנאי המכנה הוא $x>-1$. נחתוך אותו עם תנאי המונה:

$$D_f=[-\sqrt2,\sqrt2]\cap(-1,\infty)=(-1,\sqrt2].$$

בקצה השמאלי המכנה מתאפס, ולכן הוא אינו כלול. בקצה הימני הקלט במונה הוא $1$ והמכנה חיובי. כל נקודה בחיתוך מקיימת את שני התנאים.

הביטוי בתוך הלוגריתם צריך להיות חיובי:

$$25-x^2>0\iff -5<x<5.$$

כדי למצוא אילו נקודות יש להוציא, נפתור את משוואת האפס של המכנה:

$$|x|-2x+4=0.$$

כאשר $x\ge0$, המשוואה היא:

$$x-2x+4=0\iff x=4.$$

הפתרון שייך למקרה זה, ולכן יש להוציא אותו.

כאשר $x<0$, המשוואה היא:

$$-x-2x+4=0\iff x=\frac43.$$

הערך שהתקבל אינו שלילי, ולכן אינו פתרון במקרה זה. גם הצבה במשוואה המקורית מראה שהמכנה אינו מתאפס בו:

$$\left|\frac43\right|-2\cdot\frac43+4=\frac83.$$

המכנה מתאפס רק בנקודה $4$. לאחר הוצאתה מתחום הלוגריתם מתקבל:

$$D_f=(-5,4)\cup(4,5).$$

בכל נקודה בתחום זה הלוגריתם מוגדר והמכנה שונה מאפס.

תחילה נדרוש שהביטוי בתוך הלוגריתם יהיה חיובי:

$$2-x>0\iff x<2.$$

אחר כך נדרוש בסיס חיובי:

$$x^2-9>0\iff x<-3\ \lor\ x>3.$$

החיתוך של שני התנאים הוא $x<-3$. לבסוף נבדוק היכן הבסיס שווה ליחידה:

$$x^2-9=1\iff x=\pm\sqrt{10}.$$

רק הערך השלילי שייך לחיתוך, ולכן נוציא אותו. התחום הוא:

$$D_f=(-\infty,-\sqrt{10})\cup(-\sqrt{10},-3).$$

בכל נקודה בתחום זה הביטוי בתוך הלוגריתם חיובי, והבסיס חיובי ושונה מן היחידה. כל נקודה מחוץ לתחום מפרה לפחות אחד מן התנאים.

נבחר את קצות הקטעים כאפסים פשוטים של הפולינום:

$$p(x)=-(x+1)(x-2)(x-5)(x-8).$$

כאשר $x>8$, כל הגורמים בסוגריים חיוביים. הסימן החיצוני הופך את המכפלה לשלילית. בכל מעבר דרך אחד האפסים הסימן מתחלף. לכן:

$$p(x)>0\iff x\in(-1,2)\cup(5,8),$$ $$p(x)=0\iff x\in\{-1,2,5,8\}.$$

בשלושת הקטעים הנותרים הפולינום שלילי. נגדיר:

$$f(x)=\sqrt{-(x+1)(x-2)(x-5)(x-8)}.$$

השורש מוגדר כאשר הפולינום אי־שלילי, כולל כל ארבע נקודות האפס. אין בביטוי תנאים נוספים, ולכן תחום ההגדרה הוא בדיוק התחום המבוקש.