תמונה וערכי קיצון בקטע

הביטוי בתוך הערך המוחלט מתאפס בנקודה השייכת לתחום:

$$x=2,\qquad f(2)=0.$$

נפרק לפי הסימן:

$$f(x)=\begin{cases} 2-x,&1\leq x\lt 2,\\ x-2,&2\leq x\leq5. \end{cases}$$

בקטע הראשון הפונקציה יורדת, והתמונה היא:

$$(0,1].$$

בקטע השני הפונקציה עולה, והתמונה היא:

$$[0,3].$$

לכן:

$$f(A)=(0,1]\cup[0,3]=[0,3].$$

המינימום מתקבל בנקודת המפנה. המקסימום מתקבל בקצה הימני. הרציפות מבטיחה שכל ערך ביניהם מתקבל.

בתמליל השאלה שסופק נוסחת הפונקציה חסרה. כאן משתמשים בנוסחה ובתחום שמופיעים בתקציר ובפתרון הרשמי.

הסימן השלילי לפני הערך המוחלט הופך את כיוון הגרף. נפרק בנקודה שבה הביטוי שבתוכו מתאפס:

$$f(x)=\begin{cases} x-1,&-1\leq x\leq4,\\ 7-x,&4\lt x\leq5. \end{cases}$$

החלק הראשון עולה, ותמונתו:

$$[-2,3].$$

החלק השני יורד, ותמונתו:

$$[2,3).$$

איחוד התמונות נותן:

$$f(A)=[-2,3]\cup[2,3)=[-2,3].$$

המינימום מתקבל בקצה השמאלי, והמקסימום בנקודת המפנה. כל ערכי הקטע מתקבלים כבר בחלק הראשון.

נפרק בנקודת האפס:

$$f(x)=\begin{cases} 8-2x,&-1\leq x\leq4,\\ 2x-8,&4\lt x\lt 5. \end{cases}$$

בקטע הראשון הפונקציה יורדת:

$$f(-1)=10,\qquad f(4)=0,\qquad f([-1,4])=[0,10].$$

בקטע השני הפונקציה עולה. שני קצותיו אינם כלולים בפירוק שבחרנו:

$$f((4,5))=(0,2).$$

לכן:

$$f(A)=[0,10]\cup(0,2)=[0,10].$$

שני ערכי הקיצון מתקבלים בתחום. כל ערך ביניהם מתקבל בחלק הראשון, ולכן הקצה הפתוח של התחום אינו יוצר חוסר בתמונה.

בתמליל חסרים סימני הערך המוחלט. בפתרון מופיעים גם תחום שאינו תואם לשאלה ושגיאה במקום המינימום. נשתמש בערך מוחלט ובתחום שבתקציר; נקודות האפס ייקבעו מן הפירוק.

נסמן ונפרק:

$$g(x)=x^2-8x+15=(x-3)(x-5)=(x-4)^2-1.$$

הביטוי אינו שלילי מחוץ לקטע שבין השורשים. בתוכו הוא אינו חיובי. לכן:

$$f(x)=\begin{cases} x^2-8x+15,&x\in[0,3]\cup[5,8),\\ 1-(x-4)^2,&x\in(3,5). \end{cases}$$

בקטע השמאלי הפונקציה יורדת:

$$f([0,3])=[0,15].$$

בין השורשים מתקבל גרף של פרבולה הפונה מטה. ערך הקודקוד הוא:

$$f(4)=1.$$

עם נקודות האפס שבגבולות הקטע, התמונה היא:

$$f([3,5])=[0,1].$$

בקטע הימני הפונקציה עולה, אך אינה מגיעה לערך הקצה העליון:

$$f([5,8))=[0,15).$$

לכן:

$$f(A)=[0,15]\cup[0,1]\cup[0,15)=[0,15].$$

המינימום מתקבל בשני השורשים. המקסימום מתקבל בקצה השמאלי הכלול בתחום. הקטע השמאלי לבדו נותן את כל ערכי התמונה.

נפרק לפי סימן הביטוי שבתוך הערך המוחלט:

$$f(x)=\begin{cases} (x-1)(3-x)=1-(x-2)^2,&1\leq x\leq3,\\ (x-1)(x-3)=(x-2)^2-1,&3\lt x\leq4. \end{cases}$$

בחלק הראשון מתקבלת פרבולה הפונה מטה. ערכה בשני הקצוות הוא אפס, וערך הקודקוד הוא אחד. לכן:

$$f([1,3])=[0,1].$$

בחלק השני הביטוי הריבועי עולה, מן הערך שאינו מתקבל בקצה השמאלי עד לערך בקצה הימני:

$$f((3,4])=(0,3].$$

מכאן:

$$f(A)=[0,1]\cup(0,3]=[0,3].$$

המינימום מתקבל בשורשי המכפלה, והמקסימום בקצה הימני. איחוד התמונות מכסה את הקטע כולו.

נשתמש בתמונה של פונקציית הסינוס:

$$t=\sin x,\qquad t\in[-1,1].$$

לאחר החיסור מתקבל:

$$t-\frac34\in\left[-\frac74,\frac14\right].$$

שורת החיסור בתמליל הפתרון פגומה. החישוב כאן משתמש בהזזה שמופיעה בנוסחת השאלה.

הקטע מכיל את אפס, ולכן הערך המוחלט מקבל מינימום אפס. הקצה הרחוק ביותר מאפס נותן את המקסימום:

$$\min f=0,\qquad \max f=\frac74.$$

שני הערכים מתקבלים: לסינוס יש קלט שנותן את הערך הדרוש למינימום, וגם קלט שנותן את הערך הדרוש למקסימום:

$$\sin x=\frac34,\qquad \sin x=-1.$$

לכן ההפרש המבוקש הוא:

$$\max f-\min f=\frac74-0=\frac74.$$

כל ערכי הסינוס שבקטע מתקבלים, והפעולות רציפות. לכן גם כל הערכים בין שני ערכי הקיצון מתקבלים.