בהרכבה מפעילים תחילה את הפונקציה הפנימית. נבדוק כיצד כל פעולה משנה את סדר הערכים, ומתי הפונקציה המתקבלת חד־חד־ערכית או על.
ההרכבה מוגדרת כך:
$$ (g\circ f)(x)=g(f(x)). $$תחילה מחשבים את $f(x)$. אחר כך מפעילים על התוצאה את $g$. ההרכבה מוגדרת רק כאשר שתי הפעולות מותרות:
$$ D_{g\circ f}=\{x\in D_f:f(x)\in D_g\}. $$מבחן 24.03.21 שאלה 12
נתונה $f(x)=\ln x$. מצאו פונקציה $g$ כך שיתקיים $(g\circ f)(x)=x+3$.
נסמן $t=\ln x$. לכן $x=e^t$, והדרישה היא $g(t)=e^t+3$. נקבל:
$$ g(x)=e^x+3. $$נבדוק בהצבה:
$$ g(f(x))=e^{\ln x}+3=x+3,\qquad x>0. $$הפונקציה $g$ מוגדרת בכל הישר. לכן ההרכבה מוגדרת לכל קלט בתחום של $f$, ומקיימת שם את הדרישה.
כדי לבדוק עלייה ממש, בוחרים שני קלטים $x_1<x_2$ בתחום ומראים שהפלטים מקיימים $h(x_1)<h(x_2)$. בירידה ממש מתקיים האי־שוויון ההפוך.
פונקציה עולה ממש שומרת על סדר הערכים. פונקציה יורדת ממש הופכת אותו. לכן שתי פונקציות עולות ממש, או שתי פונקציות יורדות ממש, יוצרות הרכבה עולה ממש. אם אחת עולה ממש והשנייה יורדת ממש, ההרכבה יורדת ממש.
הכללים חלים כאשר הפונקציה החיצונית בעלת המונוטוניות הדרושה על כל תמונת הפונקציה הפנימית.
מבחן 28.03.24 שאלה 13
נתונה פונקציה עולה ממש $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$. איזו טענה נכונה בהכרח: הפונקציה $h(x)=e^{-1/f(x)}$ עולה ממש או יורדת ממש? האם בהכרח $\cos(f(x))$ יורדת ממש, $e^{f(x)}$ על $(0,\infty)$, או $\tan(f(x))$ עולה ממש בכל התחום?
סדר האפשרויות בפתרון המקורי שונה מסדרן בשאלה. נשתמש בסדר שבשאלה לקביעת אות התשובה.
נבחר $0<x_1<x_2$. מהנתונים:
$$ 0<f(x_1)<f(x_2) \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{f(x_1)}>\frac{1}{f(x_2)} \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{f(x_1)}<-\frac{1}{f(x_2)}. $$הפונקציה המעריכית עולה ממש. לכן $h(x_1)<h(x_2)$, והתשובה היא ב.
שאר הטענות אינן הכרחיות. עבור $f(x)=x$, הפונקציה $\cos x$ אינה יורדת ממש בכל התחום, ו־$\tan x$ אף אינה מוגדרת בכולו.
עבור $f(x)=\arctan x$ מתקיימות הנחות השאלה, אך:
$$ 1<e^{\arctan x}<e^{\pi/2}. $$לכן הפונקציה הזאת אינה על $(0,\infty)$. החיוביות של $f$ מבטיחה שהמנה בהוכחת העלייה מוגדרת בכל התחום הנתון.
הפונקציה $f$ חיובית ויורדת ממש בקטע. מהי המונוטוניות של $h(x)=e^{-1/f(x)}$?
תרגיל מקורי
הפונקציה יורדת ממש. אם $x_1<x_2$, אז:
$$ f(x_1)>f(x_2)>0 \Longrightarrow \frac{1}{f(x_1)}<\frac{1}{f(x_2)} \Longrightarrow e^{-1/f(x_1)}>e^{-1/f(x_2)}. $$פונקציה חד־חד־ערכית מקיימת $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$. אם $f$ חד־חד־ערכית, וגם $g$ חד־חד־ערכית על תמונת $f$, אז:
$$ g(f(x_1))=g(f(x_2)) \Longrightarrow f(x_1)=f(x_2) \Longrightarrow x_1=x_2. $$לכן ההרכבה חד־חד־ערכית. אין צורך להניח שהפונקציות עולות.
מבחן 20.06.24 שאלה 13
נתונה $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. בחרו בטענה הנכונה בהכרח.
גם כאן סדר האפשרויות בפתרון המקורי שונה מסדרן בשאלה. אות התשובה תיקבע לפי השאלה. בחישוב הנגזרת שבמקור יש שיבוש; נשתמש בנגזרת המתוקנת ובקטע העלייה המתאים.
הפונקציה $g(t)=2^{-t}$ יורדת ממש בכל הישר, ולכן היא חד־חד־ערכית. הרכבתה עם פונקציה חד־חד־ערכית היא חד־חד־ערכית. התשובה היא ב.
לשלילת א, ג וד נבחר $f(x)=x$. הפונקציה $2^{-x}$ יורדת ממש. הפונקציה $x^2$ אינה מקבלת ערכים שליליים, ומתקיים $(-1)^2=1^2$. לכן היא אינה על $\mathbb{R}$ ואינה חד־חד־ערכית.
לשלילת ה נבחר $f(x)=-x$. זו פונקציה יורדת, אך עבור $q(x)=-x\ln x$ מתקיים:
$$ q'(x)=-\ln x-1>0,\qquad 0<x<e^{-1}. $$לכן המכפלה עולה בקטע הזה. כל הדוגמאות מקיימות את ההנחות של הטענות שהן שוללות.
זהות אלגברית תקפה רק בנקודות שבהן הביטוי המקורי מוגדר. רשמו את התחום לפני הפישוט. לאחריו בדקו חד־חד־ערכיות ותמונה על אותו תחום.
מבחן 27.01.22 שאלה 13
נתונה הפונקציה:
$$ f(x)=\frac{3-3\tan^2(2x)}{1+\tan^2(2x)}. $$בדקו אם היא חד־חד־ערכית בקטע $\left[0,\frac{\pi}{4}\right)$ ומצאו את תמונתה בקטע.
תחילה נדרוש שהטנגנס יהיה מוגדר:
$$ \cos(2x)\ne0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\qquad k\in\mathbb{Z}. $$בתחום זה אפשר לפשט:
$$ f(x)=3\frac{\cos^2(2x)-\sin^2(2x)} {\cos^2(2x)+\sin^2(2x)} =3\cos(4x). $$בקטע הנתון מתקיים $4x\in[0,\pi)$. הקוסינוס יורד ממש שם, ולכן גם $f$ יורדת ממש וחד־חד־ערכית. מתקיים:
$$ f(0)=3,\qquad \lim_{x\to(\pi/4)^-}f(x)=-3. $$הפונקציה רציפה בקטע. הערך בקצה השמאלי מתקבל, והגבול בקצה הימני אינו מתקבל. לכן התמונה היא $(-3,3]$, בהתאם לתשובה א.
מבחן 24.03.22 שאלה 13
נתונה הפונקציה:
$$ f(x)=\ln\!\left[(-ex^3+e^2x^2+ex^2-e^2x)^3\right] -\ln\!\left[(-x^2+ex+x-e)^3\right]. $$קבעו את תחומה, את חד־חד־ערכיותה ואת תמונתה.
החזקות אינן ברורות בתמלול השאלה. נניח, לפי הפתרון הרשמי, ששני הביטויים שבתוך הלוגריתמים מועלים בחזקה שלישית.
נסמן $B(x)=-x^2+ex+x-e=-(x-1)(x-e)$. הביטוי האחר הוא $exB(x)$. חיוביות הארגומנטים מחייבת:
$$ B(x)>0,\qquad exB(x)>0. $$התנאי הראשון נותן $1<x<e$. בקטע הזה גם $ex>0$, ולכן שני התנאים מתקיימים. רק בתחום זה נפשט:
$$ f(x)=3\ln(exB(x))-3\ln B(x) =3\ln(ex)=3+3\ln x. $$הביטוי האחרון עולה ממש ורציף בקטע. כמו כן:
$$ \lim_{x\to1^+}f(x)=3,\qquad \lim_{x\to e^-}f(x)=6. $$לכן הפונקציה חד־חד־ערכית ותמונתה $(3,6)$. שני הקצוות אינם מתקבלים. זו תשובה ב; הפישוט אינו מתיר קלטים מחוץ לתחום המקורי.
פונקציה $f:D\to\mathbb{R}$ היא על אם לכל $y\in\mathbb{R}$ יש $x\in D$ שעבורו $f(x)=y$. עלייה ממש מוכיחה חד־חד־ערכיות, אך אינה מספיקה להוכחת על.
אם פונקציה רציפה בקטע פתוח וגבולותיה בקצוות הם $-\infty$ ו־$\infty$, משפט ערך הביניים מבטיח שהיא על $\mathbb{R}$.
מבחן 24.06.22 שאלה 13
נתונה:
$$ f:\left(1,\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\tan x+\ln(\ln x). $$האם הפונקציה חד־חד־ערכית? האם היא על?
שני המחוברים מוגדרים ורציפים בכל הקטע. הנגזרת היא:
$$ f'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}+\frac{1}{x\ln x}>0, \qquad 1<x<\frac{\pi}{2}. $$לכן הפונקציה עולה ממש וחד־חד־ערכית. בקצה השמאלי הטנגנס שואף לערך סופי, ואילו $\ln(\ln x)\to-\infty$. בקצה הימני הלוגריתם שואף לערך סופי, ואילו $\tan x\to\infty$. מכאן:
$$ \lim_{x\to1^+}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to(\pi/2)^-}f(x)=\infty. $$לכל $y\in\mathbb{R}$ אפשר לבחור שתי נקודות בתחום שערכי הפונקציה בהן נמצאים משני צדיו. הרציפות מבטיחה נקודה ביניהן שבה $f(x)=y$. לכן הפונקציה גם על, והתשובה היא ג.
פונקציה עולה ממש בקטע פתוח. גבולותיה בקצוות הם $-\infty$ ו־$\infty$. האם היא בהכרח על $\mathbb{R}$?
תרגיל מקורי
לא. ללא רציפות תיתכן קפיצה. למשל:
$$ h(x)= \begin{cases} x,&x<0,\\ x+1,&x\ge0. \end{cases} $$הפונקציה עולה ממש בכל הישר וגבולותיה הם כנדרש. עם זאת, היא אינה מקבלת אף ערך בקטע $[0,1)$. לכן היא אינה על $\mathbb{R}$.