כדי לקבוע תמונה, צריך לבדוק שני דברים: אילו ערכים אפשריים, ואילו מהם מתקבלים. נשתמש בהבחנה הזאת גם בהרכבה ובמנה של פונקציות.
פונקציה חסומה מלמעלה בתחום $D$ אם קיים מספר $M$ כך שלכל $x\in D$ מתקיים $f(x)\le M$. היא חסומה מלמטה אם קיים מספר $m$ כך שלכל $x\in D$ מתקיים $m\le f(x)$. היא חסומה אם שני התנאים מתקיימים.
מקסימום הוא חסם עליון שמתקבל: קיימת נקודה $a\in D$ כך ש־$f(a)=M$. מינימום הוא חסם תחתון שמתקבל.
החסם העליון הקטן ביותר נקרא סופרמום. החסם התחתון הגדול ביותר נקרא אינפימום. הם אינם חייבים להתקבל כערכי הפונקציה.
התמונה היא קבוצת הערכים שמתקבלים בפועל:
$$f(D)=\{f(x):x\in D\}.$$מבחן 18.03.18 שאלה 10
תנו נוסחה לפונקציה חסומה ורציפה בתחום $(0,\infty)$, שאין לה מקסימום בתחום זה.
נבחר את הפונקציה שבפתרון הרשמי:
$$f(x)=\arctan x.$$היא רציפה בתחום הנתון. לכל קלט בתחום מתקיים:
$$0\lt\arctan x\lt\frac{\pi}{2}.$$לכן היא חסומה. נוסף על כך,
$$\lim_{x\to\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2}.$$הגבול אינו מתקבל בשום קלט בתחום. הפונקציה עולה ממש, ולכן לכל ערך שלה יש ערך גדול ממנו שמתקבל בקלט גדול יותר. מכאן שאין לה מקסימום. כל תנאי השאלה מתקיימים.
מבחן 06.10.16 שאלה 9
תנו פונקציה חסומה בתחום $(0,1)$ שיש לה מינימום ואין לה מקסימום.
נבחר:
$$f(x)=\left(x-\frac12\right)^2.$$לכל קלט בתחום מתקיים:
$$0\le f(x)\lt\frac14.$$הערך התחתון מתקבל בנקודה $x=\frac12$, ולכן הוא מינימום. כאשר מתקרבים לאחד מקצות התחום, הערכים מתקרבים אל $\frac14$, אך אינם שווים לו. לכן זהו הסופרמום ואין מקסימום. הפונקציה חסומה ומקיימת את כל הדרישות.
ידוע רק כי $f(x)\lt 5$ לכל $x\in D$, כאשר התחום אינו ריק. האם אפשר להסיק שאין לפונקציה מקסימום?
תרגיל מקורי
לא. למשל, לפונקציה הקבועה $f(x)=4$ יש מקסימום. האי־שוויון שולל רק קבלה של הערך $5$; הוא אינו קובע שזהו הסופרמום.
אפשר למצוא ערך קיצון בלי לגזור. תחילה מוכיחים אי־שוויון לכל התחום. אחר כך בודקים אם תנאי השוויון מתקיימים בקלט מותר.
מבחן 30.08.18 שאלה 20
נתונה הפונקציה
$$f(x)=e^{x^2-4}+e^{4-x^2},\qquad x\in\mathbb R.$$הוכיחו את הטענה הנכונה בשאלה: $f(x)\ge2$ לכל קלט. בדקו גם אם החסם מתקבל.
נציב $t=e^{x^2-4}$. מתקיים $t\gt 0$, ולכן:
$$f(x)=t+\frac1t,\qquad t+\frac1t-2=\frac{(t-1)^2}{t}\ge0.$$זה מוכיח את החסם בכל התחום. שוויון מתקיים בדיוק כאשר:
$$t=1\iff x^2-4=0\iff x=\pm2.$$שני הקלטים מותרים. לכן המינימום הוא $2$, והוא מתקבל בשניהם. זו הטענה שבאפשרות ב.
הפונקציה רציפה, וכאשר $x\to\infty$ מתקיים $f(x)\to\infty$. לפי משפט ערך הביניים, היא מקבלת כל ערך מעל המינימום. לכן:
$$f(\mathbb R)=[2,\infty).$$אם לפונקציה יש מינימום $m$ ומקסימום $M$, אז:
$$\max_{x\in D}|f(x)|=\max\{|m|,|M|\}.$$לעומת זאת, בהרכבה $f(h(x))$, הפונקציה החיצונית מקבלת רק קלטים מתמונת הפונקציה הפנימית. כאשר $h(D)$ כלולה בתחום של $f$, מתקיים:
$$(f\circ h)(D)=f(h(D)).$$ערך קיצון של הפונקציה החיצונית נשמר רק אם לפחות קלט אחד שבו הוא מתקבל נמצא בתמונה הפנימית.
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 9
פונקציה $f$ רציפה על $\mathbb R$. המקסימום שלה הוא $6$ והמינימום שלה הוא $-8$. בדקו את הטענות:
מן הנתונים נקבל:
$$-8\le f(x)\le6\quad\Longrightarrow\quad |f(x)|\le8.$$קיים קלט שבו $f(x)=-8$, ולכן הערך $8$ אכן מתקבל לאחר הפעלת הערך המוחלט. הטענה השנייה, אפשרות ב, נכונה בהכרח.
בהרכבות האחרות קבוצות הקלטים הזמינים לפונקציה החיצונית הן:
$$\{|x|:x\in\mathbb R\}=[0,\infty),$$ $$x^2-x=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14,\qquad \{x^2-x:x\in\mathbb R\}=\left[-\frac14,\infty\right).$$המקסימום המקורי עשוי להתקבל רק בקלטים שליליים. לכן הטענה הראשונה אינה הכרחית. הטענה השלישית אינה אפשרית, כי שום ערך של הפונקציה המקורית אינו גדול מהמקסימום שלה.
כדי לשלול את הטענה הרביעית, אפשר לבחור פונקציה רציפה שמקיימת את הנתונים:
$$f(u)=-1+7\cos(\pi u).$$המקסימום והמינימום שלה הם הערכים הנתונים. המינימום מתקבל גם בקלט $u=1$, אשר נמצא בתמונה הפנימית. למשל,
$$x=\frac{1+\sqrt5}{2}\quad\Longrightarrow\quad x^2-x=1.$$לכן בדוגמה זו מינימום ההרכבה הוא $-8$. הטענה הרביעית אינה הכרחית. רק אפשרות ב מתחייבת מכל הנתונים.
חסימות המונה והמכנה אינה מספיקה לחסימות המנה. צריך לבדוק גם אם המכנה יכול להתקרב לאפס.
אם בכל התחום מתקיימים $|f(x)|\le A$ וגם $|g(x)|\ge c\gt 0$, אז המנה מוגדרת וחסומה:
$$\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\le\frac{A}{c}.$$מבחן 18.10.17 שאלה 9
תנו פונקציות $f,g$ חסומות בתחום $(1,\infty)$, שהמנה שלהן אינה חסומה שם.
נבחר את הזוג שבפתרון הרשמי:
$$f(x)=\frac1x,\qquad g(x)=\frac1{x^2}.$$לכל קלט בתחום מתקיים:
$$0\lt f(x)\lt 1,\qquad 0\lt g(x)\lt 1.$$לכן שתי הפונקציות חסומות, והמכנה אינו מתאפס. עם זאת,
$$\frac{f(x)}{g(x)}=x\longrightarrow\infty\qquad(x\to\infty).$$מכאן שהמנה מוגדרת בכל התחום ואינה חסומה בו, כנדרש.
אם המונה והמכנה חסומים והמכנה מתקרב לאפס, האם המנה בהכרח אינה חסומה?
תרגיל מקורי
לא. בתחום $(1,\infty)$ אפשר לבחור $f(x)=g(x)=1/x$. שתי הפונקציות חסומות והמכנה מתקרב לאפס, אך המנה קבועה ושווה ל־$1$.
מבחן 19.10.14 שאלה 18
כתבו נוסחה אחת לפונקציה שתחומה הנתון הוא $D=[0,1]\cup[2,3]$, ותמונתה היא בדיוק $[4,5]$. הנוסחה רשאית להיות מוגדרת גם מחוץ לתחום הנתון.
נבחר את הנוסחה שבפתרון הרשמי, בכתיב של שברים:
$$f(x)=\left|x-\frac32\right|+\frac72.$$בכל אחד משני חלקי התחום, המרחק מן הנקודה $\frac32$ מקבל בדיוק את הערכים שבקטע:
$$\left[\frac12,\frac32\right].$$לאחר ההזזה מתקבלת התמונה:
$$f(D)=\left[\frac12+\frac72,\frac32+\frac72\right]=[4,5].$$כדי לוודא ששום ערך בקטע אינו חסר, ניקח $y\in[4,5]$ ונבחר $x=5-y$. אז $x\in[0,1]\subset D$, ומתקיים $f(x)=y$. לכן הנוסחה היחידה נותנת את כל הערכים המבוקשים ורק אותם.