פונקציה הפוכה: בנייה ותחום

נבודד את הקלט:

$$y=3x+5\iff y-5=3x\iff x=\frac{y-5}{3}.$$

לאחר החלפת שמות המשתנים נקבל:

$$g(x)=f^{-1}(x)=\frac{x-5}{3}.$$

לכל $y\in\mathbb{R}$ קיים קלט יחיד $x=\frac{y-5}{3}$. לכן הפונקציה חד־חד־ערכית ותמונתה היא $\mathbb{R}$. גם תחום ההפוכה הוא $\mathbb{R}$. נבדוק:

$$f(g(x))=3\cdot\frac{x-5}{3}+5=x,$$ $$g(f(x))=\frac{3x+5-5}{3}=x.$$

שתי ההרכבות מחזירות את הקלט בכל התחום הנדרש.

הפונקציה המקורית מוגדרת לכל $x\in\mathbb{R}$. הפלט שלה חיובי, ולכן אפשר להפעיל לוגריתם:

$$y=e^{2x+3}\iff \ln y=2x+3\iff x=\frac{\ln y-3}{2}.$$

מכאן:

$$g(x)=\frac{\ln x-3}{2}.$$

לכל $y>0$ הנוסחה $x=\frac{\ln y-3}{2}$ נותנת קלט ממשי יחיד. אין פלט שאינו חיובי. לכן תמונת הפונקציה המקורית, ובהתאם תחום ההפוכה, היא $(0,\infty)$.

נבדוק בשני הכיוונים:

$$f(g(x))=e^{2\cdot\frac{\ln x-3}{2}+3}=x\quad (x>0),$$ $$g(f(x))=\frac{\ln(e^{2x+3})-3}{2}=x\quad (x\in\mathbb{R}).$$

כל הרכבה מוגדרת בתחום הנדרש ומחזירה את הקלט.

נפתור עבור הקלט המקורי:

$$y=\frac{x-1}{x+1}\iff y(x+1)=x-1\iff x(1-y)=1+y.$$

בתמונה הנתונה מתקיים $y\lt 1$, ולכן:

$$x=\frac{1+y}{1-y},\qquad g(x)=\frac{x+1}{1-x}.$$

התשובה היא אפשרות א. תחום ההפוכה הוא $[-1,1)$. בכל התחום הזה המונה אי־שלילי והמכנה חיובי, ולכן $g(x)\ge0$. כך הפלט של ההפוכה שייך לתחום המקורי.

הקצה השמאלי נכלל כי $f(0)=-1$. הקצה הימני אינו נכלל, כפי שרואים מן השוויון:

$$f(x)=1-\frac{2}{x+1}\lt 1\quad (x\ge0).$$

נבדוק את ההרכבה:

$$f(g(x))=\frac{\frac{1+x}{1-x}-1}{\frac{1+x}{1-x}+1}=\frac{\frac{2x}{1-x}}{\frac{2}{1-x}}=x\quad (-1\le x\lt 1).$$

לכל ערך בתמונה מצאנו קלט יחיד בתחום המקורי. לכן זו ההפוכה הנדרשת, עם כל קצות התחום הנכונים.

הדוגמאות בפתרון הרשמי הן:

$$f_1(x)=x,\qquad f_2(x)=\frac{1}{x}.$$

שתיהן מוגדרות וחיוביות לכל קלט חיובי. לכל $y>0$, הקלט היחיד שמחזיר אותו הוא $x=y$ בפונקציה הראשונה ו־$x=\frac{1}{y}$ בשנייה. לכן שתיהן חד־חד־ערכיות ועל הקבוצה הנדרשת.

נבדוק הפעלה כפולה:

$$f_1(f_1(x))=x,\qquad f_2(f_2(x))=\frac{1}{1/x}=x\quad (x>0).$$

לכן כל אחת שווה להפוכה שלה. אלה פונקציות שונות, למשל כי $f_1(2)=2$ ואילו $f_2(2)=\frac12$.