פונקציה הפוכה: הרכבות ובחירת ענף

ביטול פעולות בסדר הפוך

הפוכה של הרכבה

כאשר לכל פונקציה יש הפוכה בתחומים המתאימים, מתקיים:

$$f=u\circ v \quad\Longrightarrow\quad f^{-1}=v^{-1}\circ u^{-1}.$$

הפעולה האחרונה בנוסחה המקורית היא הפעולה הראשונה שמבטלים. בכל שלב יש לבדוק שהערך שייך לתחום שבו הפעולות אכן הפוכות.

למשל, כדי לבטל לוגריתם מפעילים פונקציה מעריכית. כדי לבטל ארקטנגנס מפעילים טנגנס:

$$y=\ln(\arctan(2x+5)) \quad\Longrightarrow\quad e^y=\arctan(2x+5) \quad\Longrightarrow\quad \tan(e^y)=2x+5.$$

את הפעולות הליניאריות מבטלים בסוף. אין להחליף את סדר הפעולות.

דוגמה: לוגריתם של ארקטנגנס

מבחן 17.04.15 שאלה 20

מצאו את הפונקציה ההפוכה של:

$$f(x)=\ln(\arctan(2x+5)).$$

קטע השאלה שסופק אינו תואם לפתרון המצורף. כאן נשתמש בנוסחת הפונקציה שמופיעה בפתרון הרשמי.

בחירת ענף לאחר הוצאת שורש

ענף של פונקציה

ענף הוא הגבלה של פונקציה לחלק מתחומה. לצורך בניית הפוכה בוחרים תחום שבו הפונקציה חד־חד־ערכית.

משוואה ריבועית אינה קובעת לבדה איזה סימן לבחור:

$$x^2=a \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\sqrt a.$$

התחום שנבחר לפונקציה המקורית קובע את הסימן.

דוגמה: הרכבה עם ריבוע וארקסינוס

מבחן 18.03.18 שאלה 13

נתונה הפונקציה:

$$f(x)=\ln(\arcsin(x^2-1)).$$

מצאו את הפונקציה ההפוכה.

במקור חסרה הגבלת תחום. הפונקציה זוגית, ולכן אין לה הפוכה בכל תחומה הטבעי. הפתרון הרשמי בוחר שורש חיובי. בהתאם לכך נניח $x\gt 0$.

דוגמה: ערך מוחלט בתוך לוגריתם

מבחן 18.10.17 שאלה 19

מצאו את הפונקציה ההפוכה של:

$$f(x)=\ln|\arcsin(x^2)|.$$

גם כאן הפונקציה זוגית ואינה הפיכה בכל תחומה הטבעי. בהתאם לשורש החיובי בפתרון הרשמי, נבחר את הענף $x\gt 0$. החסם על קלט ההפוכה ייקבע בנפרד.

דוגמה: נוסחה שמוגדרת מעבר לתחום ההפוכה

מבחן 06.10.16 שאלה 19

מצאו את הפונקציה ההפוכה של $f(x)=(\arcsin(\sqrt x))^3$. תנו קלט שבו ההפוכה מוגדרת וקלט שבו אינה מוגדרת.

נגזרת של פונקציה הפוכה

תנאי השימוש בנוסחת הנגזרת

נניח שלפונקציה יש הפוכה בענף שנבחר. אם היא גזירה בנקודה פנימית $a$, אם $f'(a)\ne0$, ואם ההפוכה רציפה בנקודה $b=f(a)$, אז:

$$(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(a)}.$$

מחשבים את נגזרת ההפוכה בקלט שהוא הפלט המקורי. אם נגזרת הפונקציה המקורית מתאפסת, אין להציב בנוסחה. יש לבדוק את נגזרת ההפוכה ישירות.

דוגמה: בחירת ענף ונגזרת בנקודת קצה

מבחן 17.04.15 שאלה 8

נתונה הפונקציה $f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})$. מצאו נוסחה להפוכה ובדקו את נגזרתה בנקודה המתאימה ל־$x=0$, $y=1$.

במקור לא צוין תחום שבו הפונקציה חד־חד־ערכית. כדי לקבל את נוסחת הפתרון הרשמי, נבחר את התחום $[-\pi,0]$.

בדיקות קצרות

איזה סימן מתאים לענף השלילי?

תרגיל מקורי

מגבילים את $f(x)=\ln(\arcsin(x^2-1))$ לתחום $[-\sqrt2,-1)$. כתבו את ההפוכה ואת תחומה.

באיזו נקודה מציבים בנגזרת?

תרגיל מקורי

נתונה פונקציה עם הפוכה רציפה בסביבת $5$. ידוע כי $f(2)=5$ וכי הפונקציה גזירה בסביבת $2$, עם $f'(2)=3$. חשבו את $(f^{-1})'(5)$.