אינטגרל מסוים והמשפט היסודי
אינטגרל מסוים מודד את השינוי של פונקציה קדומה. לכן אפשר לחשב ערך של פונקציה מתוך ערך אחר שלה ומתוך הנגזרת. לפעמים אין צורך בנוסחה מלאה. מחזוריות, סכום או חסם מספיקים.
המשפט היסודי
המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי. אם $f$ רציפה בקטע $[a,b]$ ו־$F'=f$ בקטע, אז:
$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$קבוע האינטגרציה מתבטל בהפרש. לכן כל פונקציה קדומה נותנת אותה תוצאה.
ניסוח שימושי למבחן: הערך החדש שווה לערך הידוע ועוד השינוי.
$$g(b)=g(a)+\int_a^b g'(x)\,dx.$$פונקציית אינטגרל. אם $f$ רציפה, הפונקציה $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ מקיימת $F'(x)=f(x)$ ו־$F(a)=0$.
תכונות שנשתמש בהן:
- לינאריות: $\int_a^b (f+c\,g)=\int_a^b f+c\int_a^b g$.
- חיבור קטעים: $\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f$. לכן $\int_a^{c} f-\int_a^b f=\int_b^c f$.
- היפוך גבולות: $\int_b^a f=-\int_a^b f$.
- חסם: אם $m\le f(x)\le M$ בקטע, אז $m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)$.
בדיקה קצרה: $\int_0^{\pi/2}2\sin^2x\,dx$?
לפי $2\sin^2x=1-\cos 2x$:
$$\int_0^{\pi/2}(1-\cos 2x)\,dx=\Big[x-\tfrac12\sin 2x\Big]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$זה החלק הקבוע בבחינה לדוגמה 2025 שאלה 10. שם $\cos^4x+2\sin^2x=1+\sin^4x$, ולכן התשובה היא $A+\frac{\pi}{2}$. טעות נפוצה היא להחליף את $\frac{\pi}{2}$ ב־$\pi$.
ערך חדש מתוך ערך ידוע
מבחן 22.08.24 שאלה 10
$g$ פונקציה קדומה של $\sin x\cos x$. הפונקציה $f(x)=\arcsin(2g(x))$ עוברת דרך $\left(\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{6}\right)$. מצאו את $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$.
מהנקודה: $\arcsin(2g(\frac{\pi}{2}))=-\frac{\pi}{6}$, ולכן $2g(\frac{\pi}{2})=\sin(-\frac{\pi}{6})=-\frac12$.
השינוי של $g$:
$$g\left(\tfrac{\pi}{4}\right)-g\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\int_{\pi/2}^{\pi/4}\sin x\cos x\,dx=\left[\frac{\sin^2x}{2}\right]_{\pi/2}^{\pi/4}=\frac14-\frac12=-\frac14.$$לכן $2g(\frac{\pi}{4})=-\frac12-\frac12=-1$, והערך בתחום של $\arcsin$.
$$f\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}.$$התשובה (ג). לא נדרש לחשב את הקבוע $C$ במפורש: הנקודה הנתונה קבעה אותו.
מבחן 05.06.20 שאלה 3
נתון $f(0)=0$ ו־$f'(x)=\frac{1}{e^x+1}$. חשבו את $f(\ln 2)$. האפשרויות: $\ln\frac43,\ \ln\frac23,\ \ln 2,\ \ln\frac32,\ \ln\frac34$.
לפי המשפט היסודי $f(\ln 2)=0+\int_0^{\ln 2}\frac{dx}{e^x+1}$.
חסם. האינטגרנד יורד מ־$\frac12$ ל־$\frac13$, ואורך הקטע $\ln2\approx0.69$. לכן הערך בין $0.23$ ל־$0.35$. רק $\ln\frac43\approx0.29$ מתאים.
חישוב מדויק. $\frac{1}{e^x+1}=1-\frac{e^x}{e^x+1}$, ולכן:
$$\int_0^{\ln2}\frac{dx}{e^x+1}=\Big[x-\ln(e^x+1)\Big]_0^{\ln 2}=\ln2-\ln3+\ln2=\ln\frac43.$$התשובה (א).
מבחן 28.03.24 שאלה 10
$f(x)=\sin x+m\cos x$, ול־$f$ יש נקודת קיצון ב־$x=\frac{\pi}{6}$. חשבו את $\int_{2\pi/3}^{5\pi/3}f(x)\,dx$.
$f'(x)=\cos x-m\sin x$. מהתנאי $f'(\frac{\pi}{6})=\frac{\sqrt3}{2}-\frac m2=0$ נקבל $m=\sqrt3$.
לכן $f(x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$. עם $u=x+\frac{\pi}{3}$ הקטע הוא $[\pi,2\pi]$:
$$\int_{\pi}^{2\pi}2\sin u\,du=2\Big[-\cos u\Big]_{\pi}^{2\pi}=2(-1-1)=-4.$$בדיקת סימן: $\sin u<0$ בתוך הקטע, ולכן התוצאה שלילית. התשובה (א).
סכומים ומחזוריות
כש־$a_n=F(n)$, מוצאים את $F$ כולל הקבוע, ורק אחר כך מסכמים. לסדרה מחזורית מסכמים מחזור אחד ומטפלים בשארית.
מבחן 24.03.22 שאלה 15
$F'(x)=\frac{x+1}{x}$, $F(1)=2$ ו־$a_n=F(n)$. חשבו את $a_1+a_2+\dots+a_{200}$.
בתחום $x>0$: $F(x)=x+\ln x+C$. מ־$F(1)=1+C=2$ נקבל $C=1$.
$$\sum_{n=1}^{200}(n+\ln n+1)=\frac{200\cdot201}{2}+\ln(200!)+200=\ln(200!)+20300.$$התשובה (ד). הקבוע נסכם 200 פעמים.
מבחן 27.01.22 שאלה 15
$F'(x)=\cos\frac{\pi x}{2}$, $F(0)=0$ ו־$a_n=\pi F(n)$. חשבו את $a_1+\dots+a_{2022}$.
$F(x)=\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2}+C$, ו־$F(0)=0$ נותן $C=0$. לכן $a_n=2\sin\frac{\pi n}{2}$.
הסדרה חוזרת במחזור $2,0,-2,0$, וסכום כל מחזור הוא $0$. $2022=4\cdot505+2$, ולכן:
$$a_1+\dots+a_{2022}=0+a_{2021}+a_{2022}=2+0=2.$$התשובה (ב).
בדיקה קצרה (תרגיל מקורי): $F'(x)=2x$, $F(0)=1$, $a_n=F(n)$. מהו $a_1+\dots+a_{10}$?
$F(x)=x^2+1$, ולכן הסכום הוא $385+10=395$.
חסמים במקום נוסחה
מבחן 14.09.21 שאלה 12
$a=\int_1^{e^2+0.02}(\ln x)^3dx-\int_1^{e^2}(\ln x)^3dx$. איזה מספר קרוב ביותר ל־$a$: $0.001,\ 0.16,\ 0.2,\ 2.3,\ 4$?
לפי חיבור קטעים $a=\int_{e^2}^{e^2+0.02}(\ln x)^3dx$.
בקטע הזה $8\le(\ln x)^3\le\left(\ln(e^2+0.02)\right)^3\approx8.03$. לכן $0.16\le a\le 0.161$ בקירוב. התשובה (ב).
מבחן 28.01.18 שאלה 18
תנו דוגמה ל־$f$ רציפה וגזירה בכל $\mathbb{R}$, כך ש־$F(x)=\int_1^x f(t)\,dt$ עולה ו־$\lim_{x\to\infty}F(x)=3$.
$F'=f$, ולכן מספיק $f>0$. נבחר $f(x)=\frac{c}{1+x^2}$ עם $c>0$:
$$F(x)=c\left(\arctan x-\frac{\pi}{4}\right)\xrightarrow[x\to\infty]{}c\cdot\frac{\pi}{4}=3\ \Rightarrow\ c=\frac{12}{\pi}.$$הפונקציה $f(x)=\frac{12}{\pi(1+x^2)}$ רציפה וגזירה בכל נקודה וחיובית. לכן $F$ עולה, והגבול שלה הוא $3$.
מלכודת: קבוע שנעלם
בסכום של ערכי $F$ הקבוע אינו מתבטל. במבחן 24.03.22 שאלה 15 השמטת $C=1$ נותנת $\ln(200!)+20100$, שהיא אפשרות שגויה. קבעו את $C$ מהתנאי הנתון לפני הסכימה. רק בהפרש $F(b)-F(a)$ הקבוע מתבטל.