שטח בין עקומות: נקודות חיתוך, סימטריה והערכה

חיתוך: מ־$\sqrt{x}=x^3$ מקבלים $x=x^6$, כלומר $x(x^5-1)=0$. לכן $x=0$ או $x=1$. בקטע $(0,1)$ מתקיים $\sqrt{x}>x^3$, ובקטע $(1,4)$ מתקיים $x^3>\sqrt{x}$.

$$\int_0^1\left(\sqrt{x}-x^3\right)dx=\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$$

$$\int_1^4\left(x^3-\sqrt{x}\right)dx=\frac{256-1}{4}-\frac{2}{3}(8-1)=\frac{255}{4}-\frac{14}{3}=\frac{709}{12}$$

סכום: $S=\frac{5}{12}+\frac{709}{12}=\frac{714}{12}=59\tfrac{1}{2}$. זו תשובה (א). החישוב כיסה את כל הקטע $[0,4]$, ובכל תת־קטע האינטגרנד אי־שלילי.

למשוואה $2^x=x^2$ יש פתרונות $x=2$ ו־$x=4$, ופתרון שלילי אחד. רק $x=2$ נמצא בקטע. בדיקה: ב־$x=1$ מתקיים $2>1$, וב־$x=3$ מתקיים $8<9$.

$$\int_0^2\left(2^x-x^2\right)dx=\frac{4-1}{\ln 2}-\frac{8}{3}=\frac{3}{\ln 2}-\frac{8}{3}$$

$$\int_2^3\left(x^2-2^x\right)dx=\frac{27-8}{3}-\frac{8-4}{\ln 2}=\frac{19}{3}-\frac{4}{\ln 2}$$

סכום: $S=\frac{11}{3}-\frac{1}{\ln 2}\approx 2.22$. זו תשובה (ג). התשובה חיובית, כמו שטח צריך להיות.

מתקיים $\sin x=\cos x$ כאשר $x=\frac{\pi}{4}+n\pi$. בקטע הנתון יש רק $x=\frac{5\pi}{4}$. לפני נקודה זו $\sin x\ge\cos x$, ואחריה $\cos x\ge\sin x$.

$$\int_{\pi/2}^{5\pi/4}(\sin x-\cos x)\,dx=\Big[-\cos x-\sin x\Big]_{\pi/2}^{5\pi/4}=\sqrt{2}-(-1)=1+\sqrt{2}$$

$$\int_{5\pi/4}^{2\pi}(\cos x-\sin x)\,dx=\Big[\sin x+\cos x\Big]_{5\pi/4}^{2\pi}=1-(-\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$$

לכן $S=2(1+\sqrt{2})$. שני החלקים נלקחו עם הפרש אי־שלילי.

$\sin 2x$ אי־זוגית, ולכן האינטגרל בסעיף (ב) שווה $0$.

בקטע $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ מתקיים $\sin 2x\ge0$:

$$\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx=\Big[-\tfrac{1}{2}\cos 2x\Big]_0^{\pi/2}=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1$$

החלק השלילי סימטרי לו, ולכן השטח בסעיף (א) הוא $S=2$.

שתי הפונקציות מתאפסות ב־$x=0$, וזו נקודת החיתוך היחידה. ב־$\left(-\frac{1}{2},0\right)$ מתקיים $f>0>g$, וב־$\left(0,\frac{1}{2}\right)$ מתקיים $f<0<g$. לכן בכל הקטע $\lvert f-g\rvert=\lvert f\rvert+\lvert g\rvert$.

חלק הסינוס, לפי סימטריה: $2\int_0^{1/2}\sin(\pi x)\,dx=2\cdot\frac{1}{\pi}=\frac{2}{\pi}$.

חלק החזקה:

$$\int_{-1/2}^{0}(1-4^x)\,dx+\int_0^{1/2}(4^x-1)\,dx=\left(\frac12-\frac{1}{2\ln 4}\right)+\left(\frac{1}{\ln 4}-\frac12\right)=\frac{1}{2\ln 4}$$

לכן $S=\frac{2}{\pi}+\frac{1}{2\ln 4}\approx0.997$. זו תשובה (ד).

בדיקה מהירה: $2\ln 4\approx2.77<3$ ו־$\frac{3\ln 4}{2}>1$, ולכן (א) ו־(ג) שליליות. שטח אינו שלילי, ולכן אפשר לפסול אותן בלי חישוב.

השאלה לא מציינת את הסימן של $m$. נניח $m>0$, כך שהגרף מעל ציר ה־$x$:

$$\int_m^{2m}\frac{dx}{x}=\ln(2m)-\ln m=\ln 2$$

זו תשובה (ב). עבור $m<0$ האינטגרל שווה $\ln 2$ בערך מוחלט, ולכן השטח זהה.

עבור $k=0$ שני הגרפים הם הישר $y=1$, ולא נוצר תחום חסום. לכן $k\ge1$.

הגרפים נחתכים ב־$(0,1)$. הגרף של $f$ פוגש את $y=e$ ב־$x=\frac{1}{k}$, והגרף של $g$ פוגש אותו ב־$x=-\frac{1}{k}$. הגרף של $g$ הוא שיקוף של $f$ ביחס לציר ה־$y$, ולכן:

$$S=2\int_0^{1/k}\left(e-e^{kx}\right)dx=2\left(\frac{e}{k}-\frac{e-1}{k}\right)=\frac{2}{k}$$

מ־$\frac{2}{k}=1$ מקבלים $k=2$, תשובה (ה). זו גם תוצאת קנה המידה: עבור $k=1$ השטח הוא $2$, וכל $k$ מחלק אותו ב־$k$.