שיעור 7
שטחי פרבולה, משיקים וצורות גאומטריות
נגזור שתי נוסחאות שטח קצרות לפרבולה. אחר כך נפתור בעזרתן שאלות מבחן. נלמד גם לזהות צורה מוכרת ולחסום שטח בלי לחשב אותו.
מקטע פרבולה: מכנה 6
מקטע פרבולה. נניח שההפרש בין שתי עקומות הוא פולינום ריבועי עם מקדם מוביל $a$. נניח שיש לו שני שורשים במרחק $d$ זה מזה. אז השטח הכלוא בין שני השורשים הוא:
$$S=\frac{|a|\,d^3}{6}$$הנוסחה חלה על פרבולה וציר $x$. היא חלה גם על פרבולה ומיתר, ועל שתי פרבולות.
הגזירה: נזיז את השורש השמאלי לאפס. ההפרש הוא $a\,x(x-d)$, ולכן
$$\int_0^d |a|\,x(d-x)\,dx=|a|\left(\frac{d^3}{2}-\frac{d^3}{3}\right)=\frac{|a|\,d^3}{6}$$הזזה אופקית אינה משנה שטח. לכן התוצאה תלויה רק ב־$|a|$ וב־$d$.
פרבולה ושני משיקים: מכנה 12
אזור בין פרבולה למשיקים. מעבירים משיקים לפרבולה עם מקדם מוביל $a$ בנקודות $x_1$ ו־$x_2$. נסמן $d=|x_2-x_1|$. השטח הכלוא בין שני המשיקים לבין הגרף הוא:
$$S=\frac{|a|\,d^3}{12}$$הגזירה: ההפרש בין פרבולה למשיק שלה ב־$x_1$ הוא $a(x-x_1)^2$, כי זהו שורש כפול. שני המשיקים נחתכים באמצע, ב־$x=\frac{x_1+x_2}{2}$. לכן כל חצי תורם
$$\int_{x_1}^{x_1+d/2}|a|(x-x_1)^2\,dx=\frac{|a|}{3}\left(\frac{d}{2}\right)^3=\frac{|a|\,d^3}{24}$$שני החצאים יחד נותנים $\frac{|a|d^3}{12}$. המיתר והמשיקים יוצרים משולש. שטחו הוא $\frac{|a|d^3}{6}+\frac{|a|d^3}{12}=\frac{|a|d^3}{4}$.
בשאלה רב־ברירתית אפשר להשתמש בנוסחה ישירות. בשאלה פתוחה כדאי לכתוב את הגזירה הקצרה או לחשב את האינטגרל.
דוגמאות ממבחנים
שני משיקים שנפגשים על ציר x
נתונה $f(x)=x^2+8$. מעבירים משיקים לגרף בנקודות $A(2,12)$ ו־$B(-4,24)$. שני המשיקים נפגשים על ציר $x$. מהו השטח הכלוא בין המשיקים לגרף? (א) $10$ (ב) $18$ (ג) $24$ (ד) $27$
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 24
הנגזרת היא $f'(x)=2x$. המשיק ב־$A$ הוא $y=4x+4$, והמשיק ב־$B$ הוא $y=-8x-8$. שניהם עוברים ב־$(-1,0)$.
דרך האינטגרל: השטח מתחת לגרף בקטע הוא
$$\int_{-4}^{2}(x^2+8)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}+8x\right]_{-4}^{2}=\left(\frac{8}{3}+16\right)-\left(-\frac{64}{3}-32\right)=72$$מחסירים שני משולשים בין המשיקים לציר $x$: $\frac{3\cdot24}{2}+\frac{3\cdot12}{2}=54$. מתקבל $72-54=18$.
בדיקה בנוסחה: $a=1$ ו־$d=6$, ולכן $\frac{6^3}{12}=18$. המשיקים נמצאים מתחת לפרבולה, לכן זה בדיוק האזור המבוקש. התשובה היא (ב).
יחס בין שני מקטעים
נתון $a>0$, ונתונות $f(x)=x^2-3x$ ו־$g(x)=-ax^2$. $S_1$ הוא השטח בין $f$ לציר $x$. $S_2$ הוא השטח בין $f$ ל־$g$. נתון $S_1=2S_2$. מצאו את $a$.
מבחן 20.06.24 שאלה 14
השורשים של $f$ הם $0$ ו־$3$, והמקדם המוביל הוא $1$. לכן $S_1=\frac{3^3}{6}=\frac{9}{2}$.
ההפרש הוא $g-f=-(1+a)x^2+3x=x\big(3-(1+a)x\big)$. שורשיו הם $0$ ו־$\frac{3}{1+a}$, והוא אי־שלילי ביניהם. לכן
$$S_2=\frac{(1+a)}{6}\cdot\frac{27}{(1+a)^3}=\frac{9}{2(1+a)^2}$$מהתנאי $S_1=2S_2$ מקבלים $\frac92=\frac{9}{(1+a)^2}$, כלומר $(1+a)^2=2$. הפתרונות הם $a=\pm\sqrt2-1$. התנאי $a>0$ פוסל את $-\sqrt2-1$. לכן $a=\sqrt2-1$, תשובה (ג).
ישר שחוצה את השטח
הישר $y=ax$, כאשר $a>0$, חותך את $f(x)=4x-x^2$ ברביע הראשון. הישר מחלק את השטח בין הגרף לציר $x$ ברביע הראשון לשני חלקים שווים. מצאו את $a$.
מבחן 18.10.17 שאלה 18
השטח כולו הוא $S=\frac{4^3}{6}=\frac{32}{3}$, כי השורשים הם $0$ ו־$4$.
ההפרש בין הפרבולה לישר הוא $(4-a)x-x^2$. שורשיו הם $0$ ו־$4-a$. כדי שהחיתוך יהיה ברביע הראשון צריך $0<a<4$. לכן המקטע שמעל הישר הוא $S_1=\frac{(4-a)^3}{6}$.
התנאי $S=2S_1$ נותן $(4-a)^3=32$. לכן $a=4-\sqrt[3]{32}=4-\frac{4}{\sqrt[3]{2}}\approx0.83$. הערך נמצא בתחום $0<a<4$, ולכן הוא מקיים את כל תנאי השאלה.
חסם לפני חישוב
נניח שהפער בין העקומות קמור, ושערכיו בקצוות הם $h_1$ ו־$h_2$. אז הגרף שלו נמצא מתחת למיתר. לכן השטח קטן משטח הטרפז $\frac{(h_1+h_2)L}{2}$, כאשר $L$ הוא אורך הקטע. לרוב החסם פוסל כמעט את כל התשובות.
נתונה $f(x)=-x^2+4\sqrt{x}-1$, ו־$x_1$ היא נקודת הקיצון היחידה שלה. הישר $y=-7x+19$ משיק לגרף בנקודה $(x_2,-9)$. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף, המשיק והישר $x=x_1$. (א) $24$ (ב) $52.5$ (ג) $15\frac23$ (ד) $9\frac56$ (ה) $35\frac16$
מבחן 28.03.24 שאלה 14
הנגזרת היא $f'(x)=-2x+\frac{2}{\sqrt x}$. היא מתאפסת רק ב־$x=1$. ב־$x=0$ הנגזרת אינה מוגדרת. לכן $x_1=1$. מהמשוואה $-7x_2+19=-9$ מקבלים $x_2=4$.
מתקיים $f''(x)=-2-x^{-3/2}<0$, ולכן המשיק נמצא מעל הגרף. הפער הוא $h(x)=x^2-7x-4\sqrt x+20$. ערכיו הם $h(1)=10$ ו־$h(4)=0$. הפער קמור, ולכן השטח קטן מ־$\frac{3\cdot10}{2}=15$. רק $9\frac56$ קטן מ־$15$.
חישוב מדויק:
$$\int_1^4 h(x)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}-\frac{8}{3}x^{3/2}+20x\right]_1^4=21-\frac{105}{2}-\frac{56}{3}+60=9\frac56$$התשובה היא (ד).
צורות גאומטריות מוכרות
הגרף של $y=\sqrt{r^2-x^2}$ הוא חצי עיגול עליון. לכן השטח מתחתיו הוא $\frac{\pi r^2}{2}$. חתך של גוף סיבוב, בניצב לציר הסיבוב, הוא עיגול. שטחו הוא $\pi R^2$, כאשר $R$ הוא המרחק המרבי מהציר באותו גובה.
חשבו את השטח מתחת לגרף $f(x)=\sqrt{1-x^2}$.
מבחן 02.11.16 שאלה 4
תחום ההגדרה הוא $[-1,1]$. הגרף הוא חצי עיגול היחידה העליון, ולכן $S=\frac{\pi}{2}$. אין צורך בהצבה טריגונומטרית.
מסובבים את התחום $z\ge x^2$, $y=0$ סביב ציר $z$. מהו שטח החתך $z=10$ של הגוף?
מבחן 19.10.14 שאלה 17
בגובה $z=10$ התחום הוא $|x|\le\sqrt{10}$. הסיבוב יוצר עיגול ברדיוס $\sqrt{10}$, ולכן $S=\pi\cdot10=10\pi$. השאלה מבקשת שטח חתך ולא נפח, והרדיוס הוא $\sqrt{10}$ ולא $10$.
בדיקות קצרות
1. מהו השטח בין $y=x^2$ לבין $y=4$?
הפער הוא $4-x^2$. שורשיו הם $\pm2$, ולכן $d=4$ ו־$S=\frac{64}{6}=\frac{32}{3}$.
2. מעבירים משיקים ל־$y=x^2$ ב־$x=-1$ וב־$x=3$. מהו השטח בין המשיקים לגרף?
$d=4$, ולכן $S=\frac{4^3}{12}=\frac{16}{3}$.
3. חשבו $\int_{-2}^{2}\sqrt{4-x^2}\,dx$.
זהו חצי עיגול ברדיוס $2$. לכן התוצאה היא $\frac{\pi\cdot4}{2}=2\pi$.
תרגיל מקורי
מלכודת: מיתר או משיקים?
האזור בין פרבולה למיתר $AB$ משתמש במכנה $6$. האזור בין פרבולה לשני משיקים משתמש במכנה $12$. בבחינה לדוגמה 2025 שאלה 24, שימוש במיתר נותן $36$ במקום $18$. לפני שבוחרים נוסחה, סמנו אילו קווים סוגרים את האזור.