שיעור 1 מתוך 7
וקטורים: רכיבים, אורך וחיבור
בסיס לכל הפרק: חישוב וקטור בין נקודות, אורך, וקטור יחידה ותנאי הקבלה.
וקטור, רכיבים ואורך
הגדרה
וקטור במרחב הוא שלשה סדורה $\vec v=(a,b,c)$. במישור יש שני רכיבים: $\vec v=(a,b)$. הווקטור מנקודה $A$ לנקודה $B$ הוא $\overrightarrow{AB}=B-A$: מחסרים את נקודת ההתחלה מנקודת הסיום.
האורך (הנורמה) של הווקטור:
$$|\vec v|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$המרחק בין שתי נקודות הוא האורך של $\overrightarrow{AB}$.
פעולות
מחברים רכיב־רכיב: $(a_1,b_1,c_1)+(a_2,b_2,c_2)=(a_1+a_2,\,b_1+b_2,\,c_1+c_2)$. כפל בסקלר מכפיל כל רכיב: $\lambda(a,b,c)=(\lambda a,\lambda b,\lambda c)$, ואז $|\lambda\vec v|=|\lambda|\,|\vec v|$.
וקטור יחידה בכיוון $\vec v\neq\vec 0$ הוא $\hat v=\dfrac{\vec v}{|\vec v|}$. וקטור באורך $L$ בכיוון $\vec v$ הוא $L\hat v$.
שני וקטורים שונים מאפס מקבילים אם $\vec u=\lambda\vec v$ עבור סקלר $\lambda$ אחד. אותו $\lambda$ חייב להתאים לכל הרכיבים.
דוגמה: וקטור באורך נתון
מצאו וקטור בכיוון $(3,4)$ שאורכו $2$.
מבחן 07.10.15 שאלה 12
$|(3,4)|=\sqrt{9+16}=5$. וקטור היחידה הוא $\left(\frac35,\frac45\right)$. כופלים ב־$2$ ומקבלים $\left(\frac65,\frac85\right)$.
בדיקה: $\sqrt{\frac{36}{25}+\frac{64}{25}}=\sqrt{4}=2$, והכיוון חיובי כמו $(3,4)$.
שרשור וקטורים
בכל מסלול סגור או פתוח, נקודות הביניים מתבטלות:
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},\qquad \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\vec 0$$החלפת כיוון מחליפה סימן: $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.
דוגמה: סכום בלי לחשב כל וקטור
נתונות הנקודות $A(-1,2,3)$, $B(0,1,0)$, $C(5,3,2)$. חשבו את $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.
מבחן 28.01.18 שאלה 19
לפי שרשור, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=C-A=(5+1,\,3-2,\,2-3)=(6,1,-1)$.
בדיקה בדרך הארוכה: $\overrightarrow{AB}=(1,-1,-3)$ ו־$\overrightarrow{BC}=(5,2,2)$. הסכום הוא $(6,1,-1)$.
דוגמה ברמת מבחן: נקודות על ישר אחד
עבור איזה ערך של $k$ הנקודות $A=(3,5,-1)$, $B=(1,1,3)$, $C=(k^2+k,\,k^2+2,\,-7)$ נמצאות על ישר אחד?
האפשרויות: $3$, $1$, $5$, $-1$, $-3$.
מבחן 17.10.18 שאלה 15
הנקודות על ישר אחד אם $\overrightarrow{BC}=\lambda\overrightarrow{BA}$. כאן $\overrightarrow{BA}=(2,4,-4)$ ו־$\overrightarrow{BC}=(k^2+k-1,\,k^2+1,\,-10)$.
מתחילים ברכיב שאין בו $k$: $-10=-4\lambda$, ולכן $\lambda=\frac52$.
רכיב $y$: $k^2+1=10$, ולכן $k=\pm3$. רכיב $x$: $k^2+k-1=5$, כלומר $k^2+k-6=0$, ולכן $k=2$ או $k=-3$.
הערך המשותף לשלושת הרכיבים הוא $k=-3$. בדיקה: $C=(6,11,-7)$ ו־$\overrightarrow{BC}=(5,10,-10)=\frac52(2,4,-4)$.
בדיקה עצמית
מהו המרחק של הנקודה $(3,4,5)$ מראשית הצירים?
מבחן 04.11.15 שאלה 4
$\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt2$.