שיעור 2 מתוך 7
מכפלה סקלרית, זוויות וניצבות
תת־הנושא הנפוץ ביותר בפרק: כמעט מחצית מהשאלות משתמשות במכפלה סקלרית.
המכפלה הסקלרית
הגדרה
עבור $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$ ו־$\vec v=(v_1,v_2,v_3)$:
$$\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3=|\vec u|\,|\vec v|\cos\theta$$$\theta$ היא הזווית בין הווקטורים, בתחום $0\le\theta\le\pi$. היא מוגדרת רק כאשר שני הווקטורים שונים מאפס.
תכונות שימושיות
- $\vec v\cdot\vec v=|\vec v|^2$.
- $\vec u\perp\vec v$ אם ורק אם $\vec u\cdot\vec v=0$.
- המכפלה חילופית ומפולגת, ולכן פותחים סוגריים כמו באלגברה: $$(a\vec u+b\vec v)\cdot(c\vec u+d\vec v)=ac|\vec u|^2+(ad+bc)\,\vec u\cdot\vec v+bd|\vec v|^2$$
- סימן המכפלה קובע את סוג הזווית: חיובי לזווית חדה, אפס לזווית ישרה, שלילי לזווית קהה.
- במישור, $(-b,a)$ ו־$(b,-a)$ ניצבים ל־$(a,b)$ ובאותו אורך.
דוגמה: ניצבות בלי רכיבים
נתון $|\vec u|=5$, $|\vec v|=3$, והווקטור $\vec u-2\vec v$ ניצב ל־$\vec u+\vec v$. חשבו את $\vec u\cdot\vec v$.
מבחן 06.10.16 שאלה 5
$(\vec u-2\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=|\vec u|^2+\vec u\cdot\vec v-2\vec u\cdot\vec v-2|\vec v|^2=25-\vec u\cdot\vec v-18$.
הניצבות נותנת $7-\vec u\cdot\vec v=0$, ולכן $\vec u\cdot\vec v=7$.
דוגמה: פרמטר שקובע ניצבות
נתון $|\vec u|=2$, $|\vec v|=3$ והזווית ביניהם $\frac{\pi}{3}$. מצאו $t$ שעבורו $\vec u+\vec v$ ניצב ל־$\vec u+t\vec v$.
מבחן 18.10.17 שאלה 4
$\vec u\cdot\vec v=2\cdot3\cdot\cos\frac{\pi}{3}=3$.
$(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+t\vec v)=|\vec u|^2+(1+t)\,\vec u\cdot\vec v+t|\vec v|^2=4+3(1+t)+9t=7+12t$.
משווים לאפס: $t=-\frac{7}{12}$.
דוגמה ברמת מבחן: מערכת של שתי ניצבויות
נתון $|\vec u|=|\vec v|=|\vec w|=2$. הווקטורים $\vec u,\vec w$ ניצבים. הזווית בין $\vec v$ ל־$\vec w$ והזווית בין $\vec v$ ל־$\vec u$ הן $\frac{\pi}{3}$. יהי $\vec v_1=\alpha\vec u+\beta\vec v+\vec w$, ונתון ש־$\vec v_1$ ניצב ל־$\vec v$ ול־$\vec w$. חשבו את $\alpha+\beta$.
האפשרויות: $3$, $5$, $-5$, $0$, $1$.
מבחן 05.06.20 שאלה 13
טבלת המכפלות: $\vec u\cdot\vec w=0$, $\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec w=2\cdot2\cdot\frac12=2$, ולכל וקטור $|\cdot|^2=4$.
$\vec v_1\cdot\vec w=\alpha\cdot0+\beta\cdot2+4=0$, ולכן $\beta=-2$.
$\vec v_1\cdot\vec v=2\alpha+4\beta+2=0$, ולכן $2\alpha=6$ ו־$\alpha=3$.
$\alpha+\beta=1$.
דוגמה: וקטור ניצב במישור
מצאו וקטור $(a,b)$ שניצב ל־$(1,2)$, ארוך ממנו פי שניים ונמצא ברביע הרביעי.
מבחן 04.11.15 שאלה 11
הווקטורים הניצבים באותו אורך הם $\pm(2,-1)$. כופלים ב־$2$: $\pm(4,-2)$. ברביע הרביעי $a>0$ ו־$b<0$, ולכן $(4,-2)$.
בדיקה: $(4,-2)\cdot(1,2)=0$ ו־$|(4,-2)|=2\sqrt5=2|(1,2)|$.
בדיקה עצמית
נתון $|\vec u|=|\vec v|=1$ ו־$\vec u\cdot\vec v=\frac12$. מהי הזווית בין הווקטורים ברדיאנים?
מבחן 19.03.17 שאלה 9
$\cos\theta=\frac{1/2}{1\cdot1}=\frac12$, ובתחום $[0,\pi]$ מתקבל $\theta=\frac{\pi}{3}$.