שיעור 3 מתוך 7
אורכים, אלכסונים ואי־שוויון המשולש
רוב שאלות האורך נפתרות בהעלאה בריבוע ובצמצום. כאן לומדים לזהות מתי אין צורך לחשב.
מעלים את האורך בריבוע
הזהות הבסיסית
$$|\vec u\pm\vec v|^2=|\vec u|^2\pm2\,\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^2$$זה חוק הקוסינוסים בכתיב וקטורי. כל נתון על אורך של סכום או הפרש הופך למשוואה על $\vec u\cdot\vec v$.
שלוש מסקנות שחוזרות
- $|\vec u+\vec v|=|\vec u-\vec v|$ אם ורק אם $\vec u\cdot\vec v=0$. אלכסונים שווים במקבילית מתקבלים במלבן.
- $|\vec u|=|\vec v|$ אם ורק אם $(\vec u+\vec v)\perp(\vec u-\vec v)$. האלכסונים של מעוין ניצבים.
- חוק המקבילית: $$|\vec u+\vec v|^2+|\vec u-\vec v|^2=2|\vec u|^2+2|\vec v|^2$$
דוגמה: אלכסון שני של מקבילית
יהיו $\vec u,\vec v$ וקטורים במרחב המקיימים $|\vec u|=|\vec v|=|\vec u-\vec v|=2\sqrt2$. חשבו את $|\vec u+\vec v|$.
האפשרויות: $8$, $2\sqrt2$, $\sqrt{28}$, $\sqrt{24}$, $\sqrt{32}$.
מבחן 22.08.24 שאלה 18
לפי חוק המקבילית: $|\vec u+\vec v|^2=2\cdot8+2\cdot8-8=24$, ולכן $|\vec u+\vec v|=\sqrt{24}$.
דרך אחרת: $8=8-2\vec u\cdot\vec v+8$ נותן $\vec u\cdot\vec v=4$, ואז $|\vec u+\vec v|^2=8+8+8=24$.
דוגמה: מה נובע מאלכסונים שווים
נתונים וקטורים $\vec v,\vec w$ המקיימים $|\vec v-\vec w|=|\vec v+\vec w|$. איזו טענה נכונה: $\vec v-\vec w$ ו־$\vec v+\vec w$ מקבילים, ניצבים, או ש־$\vec v,\vec w$ עצמם מקבילים או ניצבים?
מבחן 24.03.22 שאלה 12
מעלים בריבוע: $|\vec v|^2-2\vec v\cdot\vec w+|\vec w|^2=|\vec v|^2+2\vec v\cdot\vec w+|\vec w|^2$. נשאר $4\vec v\cdot\vec w=0$, ולכן $\vec v\perp\vec w$.
הטענה ש־$\vec v-\vec w\perp\vec v+\vec w$ שקולה ל־$|\vec v|=|\vec w|$. זה לא נתון.
אי־שוויון המשולש ומקרה השוויון
הגדרה
$$\big|\,|\vec u|-|\vec v|\,\big|\le|\vec u\pm\vec v|\le|\vec u|+|\vec v|$$כאשר שני הווקטורים שונים מאפס, שוויון באחד הקצוות מתקבל רק כאשר הם מקבילים. $|\vec u+\vec v|=|\vec u|+|\vec v|$ פירושו כיוון זהה. $|\vec u+\vec v|=|\vec u|-|\vec v|$ פירושו כיוונים מנוגדים.
באותו אופן, $\vec v\cdot\hat u=|\vec v|\cos\theta\le|\vec v|$. המקסימום מתקבל כאשר וקטור היחידה $\hat u$ בכיוון $\vec v$, והמינימום בכיוון ההפוך.
דוגמה: שוויון מזהה זווית
מצאו זווית חיובית בין הווקטורים $\vec u,\vec v$ השונים מאפס, המקיימים $|\vec u+\vec v|=|\vec u|-|\vec v|$.
האפשרויות: $0$, $\frac{\pi}{4}$, $2\pi$, $\frac{\pi}{2}$, $\pi$.
מבחן 18.10.18 שאלה 4
זה מקרה השוויון באי־שוויון המשולש ההפוך. הווקטורים בכיוונים מנוגדים, והזווית היא $\pi$.
בחישוב: מעלים בריבוע ומקבלים $2\vec u\cdot\vec v=-2|\vec u||\vec v|$, כלומר $\cos\theta=-1$. דוגמה: $\vec u=(2,0)$, $\vec v=(-1,0)$. האפשרות $2\pi$ אינה בתחום $[0,\pi]$.
דוגמה: מכפלה סקלרית מקסימלית
יהי $\vec v=(-\sqrt5,2)$ ויהי $\hat u$ וקטור יחידה שעבורו $a=\vec v\cdot\hat u$ מקסימלי. מצאו את $a$.
מבחן 14.09.21 שאלה 2
$\vec v\cdot\hat u=|\vec v|\cos\theta$, והמקסימום מתקבל ב־$\theta=0$. לכן $a=|\vec v|=\sqrt{5+4}=3$.
דוגמה ברמת מבחן: שלושה וקטורי יחידה
$\hat u,\hat v,\hat w$ וקטורי יחידה במרחב. $\hat u$ ניצב ל־$\hat v$, ו־$|\hat u+\hat v+\hat w|=1$. מהי הזווית בין $\hat u+\hat v$ לבין $\hat w$?
האפשרויות: $\frac{\pi}{3}$, $\frac{2\pi}{3}$, $\frac{3\pi}{4}$, $\pi$.
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 19
מעלים בריבוע: $1=|\hat u|^2+|\hat v|^2+|\hat w|^2+2\hat u\cdot\hat v+2\hat w\cdot(\hat u+\hat v)=3+0+2\hat w\cdot(\hat u+\hat v)$.
לכן $\hat w\cdot(\hat u+\hat v)=-1$. מהניצבות, $|\hat u+\hat v|=\sqrt2$.
$\cos\theta=\frac{-1}{\sqrt2\cdot1}=-\frac{\sqrt2}{2}$, ולכן $\theta=\frac{3\pi}{4}$.
בדיקה עצמית
נתון $\vec u+\vec v+\vec w=\vec 0$, $|\vec u|=|\vec v|=1$ ו־$\vec u\perp\vec v$. מצאו את $|\vec w|$.
מבחן 24.03.21 שאלה 13
$\vec w=-(\vec u+\vec v)$, ולכן $|\vec w|^2=1+0+1=2$ ו־$|\vec w|=\sqrt2$.