שיעור 4 מתוך 7
גיאומטריה וקטורית במצולעים ושטחים
מבטאים כל וקטור בעזרת שני וקטורי בסיס. אחר כך משתמשים בכלים של השיעורים הקודמים.
וקטורים בתוך מצולע
כלים
- אמצע הקטע $AB$: $M=\frac{A+B}{2}$.
- תיכון מקודקוד $C$ לאמצע $D$ של $AB$: $\overrightarrow{CD}=\frac12\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)$.
- סכום שלושת וקטורי התיכונים, כל אחד מקודקוד לאמצע הצלע שמולו, הוא $\vec 0$.
- שלושה וקטורים שונים מאפס באותו אורך שסכומם $\vec 0$ יוצרים משולש שווה צלעות. הזווית בין כל שניים מהם היא $120^\circ$.
- כדי לבטא וקטור, הולכים לאורך צלעות ידועות. בדרך הפוכה לכיוון החץ מחליפים סימן.
דוגמה: סכום התיכונים
נתון משולש $ABC$ במישור. נסמן $\overrightarrow{AB}=\vec u$, $\overrightarrow{BC}=\vec v$. נתונים התיכונים $AF$, $BE$, $CD$. חשבו את $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AF}$.
האפשרויות: $\vec v+\vec u$, $\vec v-\vec u$, $\frac23\vec v+\frac13\vec u$, $0$.
בחינה לדוגמה 2024 שאלה 9
כל וקטור תיכון הוא אמצע פחות קודקוד: $\overrightarrow{CD}=D-C$, $\overrightarrow{BE}=E-B$, $\overrightarrow{AF}=F-A$.
$D+E+F=\frac{A+B}{2}+\frac{A+C}{2}+\frac{B+C}{2}=A+B+C$. לכן הסכום הוא $\vec 0$.
בדיקה עם $\vec u,\vec v$: $\overrightarrow{AF}=\vec u+\frac12\vec v$, $\overrightarrow{BE}=\frac12\overrightarrow{BA}+\frac12\overrightarrow{BC}=-\frac12\vec u+\frac12\vec v$, $\overrightarrow{CD}=-\vec v-\frac12\vec u$. הסכום הוא אפס.
דוגמה: תיכון ומכפלה סקלרית
במשולש $ABC$, הנקודה $D$ היא אמצע הצלע $AB$. נסמן $\vec u=\overrightarrow{CA}$, $\vec v=\overrightarrow{CB}$. נתון $|\overrightarrow{CD}|=3$, $|\overrightarrow{CA}|=4$, $|\overrightarrow{CB}|=5$. חשבו את $\vec u\cdot\vec v$.
מבחן 20.06.24 שאלה 18
$\overrightarrow{CD}=\frac{\vec u+\vec v}{2}$, ולכן $|\vec u+\vec v|=6$.
$36=16+25+2\vec u\cdot\vec v$, ולכן $\vec u\cdot\vec v=-\frac52=-2.5$.
דוגמה ברמת מבחן: טרפז
נתון טרפז $ABCD$. נסמן $\overrightarrow{AD}=\vec v$, $\overrightarrow{AB}=\vec u$, $\overrightarrow{DC}=\frac12\vec u$. על הצלע $AB$ נמצאת נקודה $M$ כך ש־$|\overrightarrow{AM}|=\frac34|\overrightarrow{AB}|$. נתון $\overrightarrow{CM}\perp\overrightarrow{MD}$ ו־$|\vec v|=\frac12|\vec u|$. חשבו את $\cos(\angle BAD)$.
בטופס הבחינה נדפס $|\overrightarrow{AM}|=\frac34|\overrightarrow{AM}|$. לפי הפתרון הרשמי הכוונה ל־$|\overrightarrow{AB}|$, ובהנחה זו משתמשים כאן.
מבחן 28.03.24 שאלה 18
$\overrightarrow{AM}=\frac34\vec u$ ו־$\overrightarrow{AC}=\vec v+\frac12\vec u$.
$\overrightarrow{MD}=\vec v-\frac34\vec u$ ו־$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac14\vec u-\vec v$.
נסמן $|\vec u|^2=s$, ואז $|\vec v|^2=\frac s4$:
$$\left(\vec v-\tfrac34\vec u\right)\cdot\left(\tfrac14\vec u-\vec v\right)=\tfrac14\vec u\cdot\vec v-\tfrac s4-\tfrac{3}{16}s+\tfrac34\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec v-\tfrac{7}{16}s=0$$$\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos A=\frac s2\cos A$, ולכן $\cos A=\frac{7/16}{1/2}=\frac78$.
שטחים
הגדרה
שטח המקבילית שנבנית על $\vec u,\vec v$ הוא $|\vec u|\,|\vec v|\sin\theta$. שטח המשולש הוא חצי ממנו.
במישור, עבור $\vec u=(a,b)$ ו־$\vec v=(c,d)$, שטח המקבילית הוא $|ad-bc|$.
במרחב משתמשים במכפלה הווקטורית:
$$\vec u\times\vec v=(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1),\qquad |\vec u\times\vec v|=|\vec u|\,|\vec v|\sin\theta$$הווקטור $\vec u\times\vec v$ ניצב לשני הווקטורים. ישמש אותנו גם למציאת נורמל למישור.
דוגמה: שטח משולש בלי אורכי צלעות
נתונים וקטורים $\vec m,\vec n$ המקיימים $|\vec m|=\sqrt3$, $|\vec n|=1$, והזווית ביניהם $30^\circ$. נגדיר $\vec a=\vec m-\vec n$, $\vec b=\vec m+\vec n$. חשבו את שטח המשולש שנוצר על ידי $\vec a,\vec b$.
האפשרויות: $\frac{\sqrt3}{2}$, $3$, $\sqrt3$, $2$, $1$.
מבחן 30.06.20 שאלה 3
$(\vec m-\vec n)\times(\vec m+\vec n)=\vec m\times\vec n-\vec n\times\vec m=2\,\vec m\times\vec n$.
$|\vec m\times\vec n|=\sqrt3\cdot1\cdot\sin30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$. שטח המשולש: $\frac12\cdot2\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}$.
בדיקה עצמית
חשבו את הסינוס של הזווית בין $(1,2)$ ל־$(3,4)$.
מבחן 07.10.15 שאלה 11
$\sin\theta=\frac{|ad-bc|}{|\vec u||\vec v|}=\frac{|1\cdot4-2\cdot3|}{\sqrt5\cdot5}=\frac{2}{5\sqrt5}$.
הסינוס חיובי, כי $0\le\theta\le\pi$.