ישרים במרחב

הצגה פרמטרית

ישר שעובר בנקודה $P_0$ בכיוון $\vec d\neq\vec 0$:

$$\ell:\;(x,y,z)=P_0+t\vec d,\qquad t\in\mathbb R$$

הצגה קנונית

בכתיב הבא מניחים שכל המכנים שונים מאפס. אם רכיב כיוון מתאפס, כותבים את הקואורדינטה המתאימה כקבוע.

$$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$

הנקודה היא $(x_0,y_0,z_0)$ והכיוון הוא $(a,b,c)$. כדי לקרוא את הכיוון, המקדם של $x$, $y$ ו־$z$ במונה חייב להיות $1$:

• $x=\frac{y+1}{4}$ פירושו $\frac{x-0}{1}=\frac{y+1}{4}$. רכיב $x$ של הכיוון הוא $1$.
• $2(x-a)$ שווה ל־$\frac{x-a}{1/2}$. רכיב $x$ של הכיוון הוא $\frac12$.
• $z=2y=3x$: מציבים $z=s$ ומקבלים $(x,y,z)=s\left(\frac13,\frac12,1\right)$. כיוון שקול: $(2,3,6)$.
• אם רכיב קבוע, כמו $y=-5$, רכיב הכיוון המתאים הוא $0$.

זווית

הזווית בין ישרים נקבעת לפי וקטורי הכיוון. הזווית החדה מקיימת:

$$\cos\alpha=\frac{|\vec d_1\cdot\vec d_2|}{|\vec d_1|\,|\vec d_2|}$$

הכיוונים ניצבים אם $\vec d_1\cdot\vec d_2=0$. בבחינות משתמשים בכך גם לחישוב זווית בין ישרים מצטלבים. אם נדרש חיתוך, יש לבדוק אותו בנפרד.

ישר כחיתוך של שני מישורים

ישר המקביל לשני מישורים, או ישר החיתוך שלהם, ניצב לשני הנורמלים. לכן כיוונו $\vec n_1\times\vec n_2$.

שני ישרים במרחב

• מקבילים: $\vec d_1\parallel\vec d_2$. אם יש להם נקודה משותפת, הם מתלכדים.
• נחתכים: הכיוונים אינם מקבילים ויש נקודה משותפת.
• מצטלבים: אין מקבילות ואין חיתוך.

ישרים לא מקבילים נמצאים במישור אחד אם ורק אם הם נחתכים, כלומר אם ורק אם $(P_2-P_1)\cdot(\vec d_1\times\vec d_2)=0$.