שיעור 6 מתוך 7
מישורים, נורמלים ויחס בין ישר למישור
כדי לבנות מישור, מזהים כיוונים בתוכו, מוצאים נורמל ומציבים נקודה.
משוואת מישור
הגדרה
מישור דרך $P_0$ עם נורמל $\vec n=(A,B,C)\neq\vec 0$ הוא קבוצת הנקודות $X$ המקיימות $\vec n\cdot(X-P_0)=0$. בפתיחה:
$$Ax+By+Cz+D=0,\qquad D=-\vec n\cdot P_0$$המקדמים של $x,y,z$ הם הנורמל. משוואה שמוכפלת בקבוע שונה מאפס מתארת אותו מישור.
בניית מישור
- מוצאים שני כיוונים בלתי תלויים בתוך המישור: הפרש של שתי נקודות, כיוון של ישר מוכל, או כיוון שהמישור מקביל לו.
- הנורמל ניצב לשניהם. אפשר לחשב מכפלה וקטורית, או לפתור שתי משוואות $\vec n\cdot\vec d=0$ כשאחד המקדמים נתון.
- רק בסוף מציבים נקודה אחת כדי למצוא את $D$.
שני מישורים ניצבים אם $\vec n_1\cdot\vec n_2=0$, ומקבילים אם $\vec n_1\parallel\vec n_2$. ישר ניצב למישור אם כיוונו מקביל לנורמל.
דוגמה: מישור דרך שתי נקודות, ניצב למישור אחר
המישור $Ax+2y+Cz+D=0$ עובר דרך $P(3,6,5)$ ו־$Q(2,7,0)$, והוא ניצב למישור $x+2y+3z-4=0$. מצאו את $C$.
האפשרויות: $1$, $13$, $3$, $-13$, $-1$.
מבחן 28.03.24 שאלה 11
$\vec n=(A,2,C)$ ניצב ל־$\overrightarrow{PQ}=(-1,1,-5)$ ולנורמל $(1,2,3)$, כי המישורים ניצבים, וכי $\overrightarrow{PQ}$ הוא כיוון בתוך המישור המבוקש.
$-A+2-5C=0$ וגם $A+4+3C=0$. מחברים: $6-2C=0$, ולכן $C=3$ ו־$A=-13$. הצבת $P$ נותנת $D=22$. לכן המישור הוא $-13x+2y+3z+22=0$; גם $Q$ מקיימת אותו.
דוגמה: מישור שמכיל ישר ונקודה
נתון הישר $\frac{x-7}{2}=\frac{y+5}{-2}=\frac{z+7}{-3}$ ונקודה $A(-1,2,5)$ שאינה על הישר. המישור $3x+By+Cz+D=0$ מכיל את הישר ואת הנקודה. מצאו את $D$.
האפשרויות: $0$, $5$, $-1$, $9$, $-7$.
מבחן 22.08.24 שאלה 11
שני כיוונים במישור: $\vec d=(2,-2,-3)$, והווקטור מנקודת הישר $P(7,-5,-7)$ אל $A$: $(-8,7,12)$.
$6-2B-3C=0$ וגם $-24+7B+12C=0$. מהראשונה $2B+3C=6$, ולכן $8B+12C=24$. מחסרים את השנייה: $B=0$ ו־$C=2$.
מציבים את $A$: $-3+0+10+D=0$, ולכן $D=-7$. בדיקה עם $P$: $21-14-7=0$.
ישר ומישור
שלושה מקרים
לישר $P_0+t\vec d$ ולמישור עם נורמל $\vec n$:
- $\vec d\cdot\vec n\neq0$: נקודת חיתוך אחת. מציבים את הצורה הפרמטרית במשוואת המישור ופותרים את $t$.
- $\vec d\cdot\vec n=0$ ו־$P_0$ על המישור: הישר מוכל במישור.
- $\vec d\cdot\vec n=0$ ו־$P_0$ אינה על המישור: הישר מקביל למישור ואינו חותך אותו.
דוגמה: נקודת חיתוך
מצאו את נקודת החיתוך של הישר $(1,0,0)+t(1,2,3)$ עם המישור $x+2y-z=5$.
מבחן 22.10.19 שאלה 9
$(1+t)+2(2t)-3t=1+2t=5$, ולכן $t=2$ והנקודה היא $(3,4,6)$. בדיקה: $3+8-6=5$.
דוגמה ברמת מבחן: מקביל ולא מוכל
נתונים המישור $2x-3y+4z+5=0$ והנקודות $A(k^2,1,k)$, $B(3,-k,-2)$. מצאו את כל ערכי $k$ שעבורם הישר העובר דרך $A,B$ מקביל למישור ולא מוכל בו.
האפשרויות: $-1$; $\frac12,-1$; $\frac12$; לא קיים $k$ כזה.
בחינה לדוגמה 2024 שאלה 7
$\overrightarrow{AB}=(3-k^2,\,-k-1,\,-2-k)$. תנאי ההקבלה: $2(3-k^2)-3(-k-1)+4(-2-k)=-2k^2-k+1=0$, כלומר $k=-1$ או $k=\frac12$.
בודקים הכלה בעזרת $B$: $6+3k-8+5=3k+3$. עבור $k=-1$ מתקבל $0$, ולכן הישר מוכל במישור. עבור $k=\frac12$ מתקבל $4.5\neq0$.
התשובה: $k=\frac12$ בלבד.
דוגמה: כמה נתונים צריך
$\pi$ הוא מישור שמשוואתו $x+By+Cz+D=0$. $P_0$ היא נקודה על המישור ושיעוריה ידועים. הוספת איזה נתון לא תספיק כדי למצוא את $B$, $C$ ו־$D$?
- משוואת ישר המוכל ב־$\pi$ ואינו מכיל את $P_0$.
- משוואת ישר הניצב ל־$\pi$.
- משוואת מישור המקביל ל־$\pi$.
- משוואת מישור הניצב ל־$\pi$ ומכיל את $P_0$.
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 25
יש שלושה נעלמים. $P_0$ נותנת משוואה אחת. חסרות שתי משוואות בלתי תלויות.
- ישר מוכל שאינו עובר ב־$P_0$ נותן שתי נקודות נוספות. יחד עם $P_0$ אלה שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, והמישור נקבע.
- ישר ניצב נותן את כיוון הנורמל. אחרי נרמול ל־$A=1$ ידועים $B,C$.
- מישור מקביל נותן את הנורמל באותו אופן.
- מישור ניצב נותן רק $\vec n\cdot\vec n_2=0$, משוואה אחת. נשארת משפחה של מישורים שמסתובבים סביב ישר.
התשובה: הנתון הרביעי.
בדיקה עצמית
מצאו את משוואת המישור העובר דרך $P(-1,2,-3)$ וניצב לישר החיתוך של המישורים $x=2$ ו־$y-z=1$.
מבחן 24.03.21 שאלה 6
כיוון ישר החיתוך: $(1,0,0)\times(0,1,-1)=(0,1,1)$. זה הנורמל של המישור המבוקש.
$y+z+D=0$ דרך $P$: $2-3+D=0$, ולכן $D=1$. המישור: $y+z+1=0$.