שיעור 7 מתוך 7
מרחקים, היטלים ונקודות קרובות
הקטע הקצר ביותר ניצב: למישור הוא בכיוון הנורמל, ולישר הוא ניצב לכיוון הישר.
נקודה ומישור
עקב האנך
הקטע הקצר ביותר מנקודה $P$ למישור מקביל לנורמל. לכן עקב האנך הוא $Q=P+t\vec n$. מציבים במשוואת המישור ומקבלים משוואה לינארית אחת ב־$t$.
המרחק של $P(x_0,y_0,z_0)$ מהמישור $Ax+By+Cz+D=0$:
$$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$דוגמה: הנקודה הקרובה ביותר על מישור
יהא $x+3y+2z-1=0$ מישור, ותהא $Q$ הנקודה על המישור הקרובה ביותר ל־$P(1,0,-1)$. מצאו את $Q$.
האפשרויות: $\left(\frac87,\frac37,-\frac57\right)$, $(1,0,0)$, $(-1,0,1)$, $\left(\frac57,-\frac27,\frac47\right)$, $\left(-\frac37,\frac57,-\frac57\right)$.
מבחן 04.09.20 שאלה 2
$Q=(1+t,\,3t,\,-1+2t)$. מציבים: $1+t+9t-2+4t-1=14t-2=0$, ולכן $t=\frac17$.
$Q=\left(\frac87,\frac37,-\frac57\right)$.
הנקודה $(1,0,0)$ נמצאת על המישור, אבל $(1,0,0)-P=(0,0,1)$ אינו מקביל לנורמל $(1,3,2)$.
דוגמה ברמת מבחן: מרחק מעקב האנך
נתון המישור $2x-4y-2z=0$ והנקודה $B(0,10,2)$. מ־$B$ מורידים אנך למישור, והוא חותך את המישור בנקודה $C$. מצאו את המרחק מ־$C$ לנקודה $\left(\frac{11}{3},0,-\frac{11}{3}\right)$.
האפשרויות: $\frac83$, $\frac{10}{3}$, $\frac{14}{3}$, $\frac{16}{3}$, $\frac{11}{3}$.
מבחן 20.06.24 שאלה 11
נורמל מצומצם: $(1,-2,-1)$. $C=(t,\,10-2t,\,2-t)$.
מציבים ב־$x-2y-z=0$: $t-20+4t-2+t=6t-22=0$, ולכן $t=\frac{11}{3}$ ו־$C=\left(\frac{11}{3},\frac83,-\frac53\right)$.
ההפרש מהנקודה הנתונה: $\left(0,\frac83,2\right)$. המרחק: $\sqrt{\frac{64}{9}+\frac{36}{9}}=\frac{10}{3}$.
נקודה וישר
הנקודה הקרובה ביותר על ישר
על הישר $P_0+t\vec d$, הנקודה $Q$ הקרובה ביותר ל־$P$ מקיימת $(P-Q)\cdot\vec d=0$. אם הישר עובר בראשית, $t=\dfrac{P\cdot\vec d}{|\vec d|^2}$.
היטל
אורך ההיטל של $\vec v$ על כיוון $\vec u$ הוא $\dfrac{|\vec v\cdot\vec u|}{|\vec u|}=|\vec v|\,|\cos\theta|$. הערך המוחלט מאבד את סימן הקוסינוס. את סוג הזווית קובעים מנתון נוסף.
דוגמה: נקודה קרובה על ישר
מצאו את הנקודה על הישר $z=2y=3x$ הקרובה ביותר לנקודה $(0,1,2)$.
מבחן 19.03.17 שאלה 16
הישר עובר בראשית בכיוון $\vec d=(2,3,6)$, ו־$|\vec d|^2=49$.
$t=\frac{(0,1,2)\cdot(2,3,6)}{49}=\frac{15}{49}$. הנקודה: $\left(\frac{30}{49},\frac{45}{49},\frac{90}{49}\right)$.
בדיקה: $z=\frac{90}{49}$, $2y=\frac{90}{49}$, $3x=\frac{90}{49}$.
דוגמה: רדיוס של מעגל משיק
מעגל שמרכזו בראשית משיק לישר $(5,0,2)+t(1,-2,0)$, במישור שמכיל את שניהם. מהו הרדיוס?
מבחן 18.03.18 שאלה 19
הרדיוס הוא המרחק מהראשית לישר. $Q=(5+t,-2t,2)$ ו־$Q\cdot(1,-2,0)=5+t+4t=0$, ולכן $t=-1$.
$Q=(4,2,2)$ והרדיוס $\sqrt{16+4+4}=2\sqrt6$.
דוגמה: היטל וזווית קהה
אורך ההיטל של $(1,1,1)$ על $\vec u$ הוא $\frac32$, והזווית ביניהם קהה. מהי הזווית?
מבחן 19.10.14 שאלה 13
$\sqrt3\,|\cos\theta|=\frac32$, ולכן $|\cos\theta|=\frac{\sqrt3}{2}$. הזווית קהה, ולכן $\cos\theta=-\frac{\sqrt3}{2}$ ו־$\theta=\frac{5\pi}{6}$.
בדיקה עצמית
מהו המרחק של הראשית מהמישור $x+2y+2z=6$?
תרגיל מקורי
$d=\frac{|0+0+0-6|}{\sqrt{1+4+4}}=\frac63=2$.