$\overrightarrow{M_2M_1}=(1,2,1)$. $\vec n=(1,2,1)\times(7,11,5)=(10-11,\;7-5,\;11-14)=(-1,2,-3)$. מציבים את $M_2$: $-2+6+D=0$, ולכן $-x+2y-3z-4=0$, כלומר $x-2y+3z=-4$.
בדרך המהירה
מציבים את $M_1$ ואת $M_2$ בכל אפשרות. $3x-2y+z=0$ ו־$x-2y+3z=-4$ עוברות בשתי הנקודות. בודקים את הנורמל מול $\vec v$: $(3,-2,1)\cdot\vec v=21-22+5=4\neq0$, אבל $(1,-2,3)\cdot\vec v=7-22+15=0$. התשובה: $x-2y+3z=-4$.
שימו לב: שתי אפשרויות עברו את בדיקת הנקודות. בדקו את כל תנאי השאלה לפני בחירה.
שיטה 02
קוראים את הנורמל ופותרים שתי משוואות לינאריות
כאשר משוואת המישור נתונה עם מקדם ידוע, כמו $Ax+2y+Cz+D=0$. כל כיוון בתוך המישור נותן משוואה $\vec n\cdot\vec d=0$.
המישור $Ax+2y+Cz+D=0$ עובר דרך $P(3,6,5)$ ו־$Q(2,7,0)$ וניצב למישור $x+2y+3z-4=0$. מצאו את $C$.
מבחן 28.03.24 שאלה 11
בדרך הארוכה
$\vec n=\overrightarrow{PQ}\times(1,2,3)=(-1,1,-5)\times(1,2,3)=(13,-2,-3)$. משנים קנה מידה כך שהמקדם של $y$ יהיה $2$: $(-13,2,3)$. לכן $C=3$. אחר כך אפשר למצוא את $D$, אבל לא צריך.
בדרך המהירה
$(A,2,C)\cdot(-1,1,-5)=0$ ו־$(A,2,C)\cdot(1,2,3)=0$: $-A+2-5C=0$ ו־$A+4+3C=0$. מחברים את המשוואות, ו־$A$ מתבטל: $6-2C=0$, ולכן $C=3$.
שימו לב: הציבו נקודה רק אחרי שהנורמל ידוע. נקודה בלבד לא קובעת את הכיוון.
שיטה 03
יורדים לאורך הנורמל
בכל שאלה על עקב אנך, נקודה קרובה ביותר על מישור או מרחק ממישור.
מ־$B(0,10,2)$ מורידים אנך למישור $2x-4y-2z=0$. עקב האנך הוא $C$. מצאו את המרחק מ־$C$ ל־$\left(\frac{11}{3},0,-\frac{11}{3}\right)$.
מבחן 20.06.24 שאלה 11
בדרך הארוכה
נקודה כללית על המישור היא $(x,y,\,x-2y)$. ממזערים את $x^2+(y-10)^2+(x-2y-2)^2$ באמצעות נגזרות חלקיות, ופותרים מערכת של שתי משוואות.
בדרך המהירה
$C=B+t(1,-2,-1)=(t,10-2t,2-t)$. מציבים: $6t-22=0$, ולכן $t=\frac{11}{3}$ ו־$C=\left(\frac{11}{3},\frac83,-\frac53\right)$. ההפרש מהנקודה הנתונה הוא $\left(0,\frac83,2\right)$, והמרחק $\frac{10}{3}$.
שימו לב: רכיב $x$ של $C$ שווה ל־$\frac{11}{3}$, כמו בנקודה הנתונה. זה סימן שהחישוב עקבי. אל תחשבו בטעות את המרחק מ־$B$.
שיטה 04
מפרידים בין הקבלה להכלה
כאשר השאלה אומרת "מקביל ולא מוכל", "לא נחתכים" או "מוכל".
המישור $2x-3y+4z+5=0$ והנקודות $A(k^2,1,k)$, $B(3,-k,-2)$. מצאו את ערכי $k$ שעבורם הישר $AB$ מקביל למישור ולא מוכל בו.
בחינה לדוגמה 2024 שאלה 7
בדרך הארוכה
כותבים את הישר בצורה פרמטרית $A+t\overrightarrow{AB}$, מציבים במשוואת המישור, ודורשים שלמשוואה ב־$t$ אין פתרון. מקבלים משוואה עם $k$ ו־$t$, ומפרקים לפי מקדם $t$ ולפי האיבר החופשי.
בדרך המהירה
תנאי הכיוון: $\overrightarrow{AB}\cdot(2,-3,4)=-2k^2-k+1=0$, ולכן $k\in\{-1,\frac12\}$. מציבים את $B$ במישור: $3k+3$. הביטוי מתאפס ב־$k=-1$, כלומר הישר מוכל במישור. נשאר $k=\frac12$.
שימו לב: במבחן 30.06.20 שאלה 2 אותם נתונים, אבל השאלה מבקשת ישר מוכל. שם התשובה היא $k=-1$.
שיטה 05
מעלים בריבוע ומשתמשים בחוק המקבילית
כשנתונים אורכים של $\vec u$, $\vec v$, $\vec u+\vec v$ או $\vec u-\vec v$.
$|\vec u|=|\vec v|=|\vec u-\vec v|=2\sqrt2$. חשבו את $|\vec u+\vec v|$.
מבחן 22.08.24 שאלה 18
בדרך הארוכה
$|\vec u-\vec v|^2=8$ נותן $8+8-2\vec u\cdot\vec v=8$, ולכן $\vec u\cdot\vec v=4$. אחר כך $|\vec u+\vec v|^2=8+8+8=24$.
בדרך המהירה
חוק המקבילית: $|\vec u+\vec v|^2=2\cdot8+2\cdot8-8=24$. התשובה: $\sqrt{24}$.
שימו לב: האפשרות $\sqrt{32}$ מתאימה לווקטורים ניצבים. הנתונים מתארים משולש שווה צלעות, עם זווית $60^\circ$.
שיטה 06
מזהים מקרה שוויון באי־שוויון המשולש
כאשר האורך הנתון של סכום או הפרש שווה בדיוק לסכום האורכים או להפרשם.
מצאו את $\sin\alpha$, כאשר $\alpha$ הזווית בין $\vec u$ ל־$\vec v$, ו־$|\vec u-\vec v|=1$, $|\vec v|=2$, $|\vec u|=3$.
מבחן 30.08.18 שאלה 18
בדרך הארוכה
$1=9+4-2\cdot3\cdot2\cos\alpha$, ולכן $\cos\alpha=1$ ו־$\sin\alpha=0$.
בדרך המהירה
$|\vec u-\vec v|=1=3-2=|\vec u|-|\vec v|$. זהו מקרה השוויון, ולכן הווקטורים באותו כיוון. $\alpha=0$ ו־$\sin\alpha=0$.
שימו לב: כאשר $|\vec u+\vec v|=|\vec u|-|\vec v|$, הכיוונים מנוגדים והזווית $\pi$. ראו מבחן 18.10.18 שאלה 4.
שיטה 07
תיכונים: אמצע פחות קודקוד
כשמבקשים סכום של וקטורי תיכונים או וקטור תיכון בעזרת שני וקטורי צלע.
במשולש $ABC$, $\overrightarrow{AB}=\vec u$, $\overrightarrow{BC}=\vec v$. חשבו את $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AF}$, כאשר $AF,BE,CD$ הם התיכונים.
$(D-C)+(E-B)+(F-A)=(D+E+F)-(A+B+C)$. סכום האמצעים שווה לסכום הקודקודים, ולכן התוצאה היא $\vec 0$.
שימו לב: התשובה אינה תלויה ב־$\vec u,\vec v$. אם קיבלתם ביטוי כמו $\vec u+\vec v$, בדקו את סימני הכיוונים.
שיטה 08
מתחילים ברכיב הפשוט
בבדיקת נקודה על ישר או נקודות על ישר אחד. בוחרים רכיב בלי פרמטר או רכיב לינארי.
עבור איזה $k$ הנקודות $A=(3,5,-1)$, $B=(1,1,3)$, $C=(k^2+k,k^2+2,-7)$ על ישר אחד?
מבחן 17.10.18 שאלה 15
בדרך הארוכה
כותבים את הישר $AB$ בצורה פרמטרית ומשווים את שלושת הרכיבים ל־$C$. מקבלים שתי משוואות ריבועיות ב־$k$ ומשוואה ב־$t$, ופותרים מערכת.
בדרך המהירה
רכיב $z$ אינו תלוי ב־$k$: $-10=-4\lambda$, ולכן $\lambda=\frac52$. מציבים את אפשרויות התשובה ברכיב $x$: $k^2+k-1=5$. רק $k=-3$ מקיים זאת. בדיקת $y$: $9+1=10=\frac52\cdot4$.
שימו לב: רכיב $y$ לבדו נותן $k=\pm3$. האפשרות $3$ היא המלכודת.
שיטה 09
בוחרים וקטור שהופך את הטענה לבדיקה
בטענות מסוג "לכל וקטור" או "קיים וקטור". דוגמה נגדית אחת מפריכה טענה כללית.
נתונים $\vec v,\vec w$ במרחב. איזו טענה נכונה?
אם קיים $\vec u$ עם $\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w$, אז $\vec v=\vec w$.
אם קיים $\vec u$ עם $\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w$, אז $\vec u=\vec 0$.
לכל $\vec u$ עם $\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w$, $\vec u$ ניצב ל־$\vec v$ ול־$\vec w$.
לכל $\vec u$ עם $\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w$, $|\vec u|=1$.
אם לכל $\vec u$ מתקיים $\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w$, אז $\vec v=\vec w$.
מבחן 27.01.22 שאלה 12
בדרך הארוכה
כותבים $\vec u=(x,y,z)$ ו־$\vec v-\vec w=(a,b,c)$. "לכל $\vec u$" פירושו $ax+by+cz=0$ לכל $x,y,z$. מציבים את שלושת וקטורי היחידה ומקבלים $a=b=c=0$.
בדרך המהירה
$\vec u=\vec 0$ מקיים את השוויון לכל $\vec v,\vec w$. זה פוסל את הטענה הראשונה ואת הרביעית. $\vec v=\vec w=(1,0,0)$ ו־$\vec u=(1,0,0)$ פוסלים את השנייה ואת השלישית. לאחרונה מציבים $\vec u=\vec v-\vec w$ ומקבלים $|\vec v-\vec w|^2=0$, ולכן $\vec v=\vec w$.
שימו לב: הבחינו בין "קיים" לבין "לכל". דוגמה אחת מספיקה רק להפרכה.
שיטה 10
סופרים תנאים בלתי תלויים
כששואלים אילו נתונים מספיקים לקביעת מישור או ישר.
מישור $x+By+Cz+D=0$ עובר בנקודה ידועה $P_0$. איזה נתון נוסף לא יספיק למציאת $B,C,D$: ישר מוכל שאינו עובר ב־$P_0$, ישר ניצב למישור, מישור מקביל, או מישור ניצב שמכיל את $P_0$?
בחינה לדוגמה 2025 שאלה 25
בדרך הארוכה
מנסים לפתור את $B,C,D$ בכל מקרה ובודקים אם הפתרון יחיד.
בדרך המהירה
שלושה נעלמים. $P_0$ נותנת תנאי אחד, ולכן צריך עוד שניים. ישר מוכל נותן שתי נקודות, כלומר שני תנאים. ישר ניצב או מישור מקביל נותנים כיוון נורמל, כלומר שני תנאים. מישור ניצב נותן רק $\vec n\cdot\vec n_2=0$, תנאי אחד. הנתון האחרון אינו מספיק.
שימו לב: ניצבות של ישר למישור קובעת את הנורמל. ניצבות של מישור למישור אינה קובעת אותו.
שיטה 11
מכפלה משולשת ומכפלה וקטורית בקיצור
לבדיקה אם שני ישרים במישור אחד, ולשטח שנבנה על צירופים של אותם וקטורים.
$|\vec m|=\sqrt3$, $|\vec n|=1$, הזווית ביניהם $30^\circ$. $\vec a=\vec m-\vec n$, $\vec b=\vec m+\vec n$. מהו שטח המשולש שנוצר על ידי $\vec a,\vec b$?
שימו לב: באותו רעיון, במבחן 28.05.19 שאלה 20 התנאי $(P_2-P_1)\cdot(\vec d_1\times\vec d_2)=0$ נותן מיד $k=2$.
שיטה 12
מעוין: חוצה הזווית בלי חישוב
כשמחברים שני וקטורים באותו אורך. האלכסון חוצה את הזווית ביניהם.
$|\vec u|=4$, $|\vec v|=3$, הזווית ביניהם $120^\circ$, ו־$\vec w=\frac32\vec u+2\vec v$. מצאו את $\cos\alpha$, כאשר $\alpha$ הזווית בין $\vec u$ ל־$\vec w$.
בוחרים $\vec u=(1,0)$ ו־$\vec v=(0,2)$. אז $\vec a=(2,0)+(0,2)=(2,2)$ ו־$\vec b=(0,2)-(2,0)=(-2,2)$. $\vec a\cdot\vec b=0$, ולכן הזווית $\frac{\pi}{2}$.
שימו לב: דוגמה מספרית מאתרת תשובה בשאלת בחירה, אבל אינה מוכיחה טענה כללית. כאן החישוב הכללי קצר ומאשר את התוצאה.
מלכודות חוזרות
נקודה על ישר אינה כיוון הישר. הכיוון הוא הפרש בין שתי נקודות. מבחן 18.10.18 שאלה 2, מבחן 22.08.24 שאלה 11
$\vec d\cdot\vec n=0$ אינו שולל ישר המוכל במישור. הציבו נקודה של הישר. בחינה לדוגמה 2024 שאלה 7, מבחן 24.06.21 שאלה 17
הסכום הקצר ביותר מתקבל בכיוון ההפוך, והארוך ביותר באותו כיוון. וקטור יחידה הוא $\vec u/|\vec u|$, לא $\vec u$. מבחן 03.09.15 שאלה 20, מבחן 14.08.20 שאלה 3
היפוך כיוון של וקטור צלע או תיכון מחייב החלפת סימן: $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$. בחינה לדוגמה 2024 שאלה 9, מבחן 28.03.24 שאלה 18
הזווית בין וקטורים אינה מוגדרת אם אחד מהם הוא $\vec 0$. בדקו הנחות לפני חלוקה באורך. מבחן 24.06.22 שאלה 12, מבחן 04.09.20 שאלה 3
תנאי ניצבות בין שני מישורים משאיר כיוון חופשי אחד. ספרו תנאים בלתי תלויים. בחינה לדוגמה 2025 שאלה 25
אורך היטל נותן $|\cos\theta|$. סוג הזווית, חדה או קהה, קובע את הסימן. מבחן 19.10.14 שאלה 13
סכום של שני וקטורי יחידה ניצבים אורכו $\sqrt2$, לא $1$. בחינה לדוגמה 2025 שאלה 19